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Isométries et matrices orthogonales
8.3.2 Matrices orthogonales
Rappels sur le lien entre les applications linéaires et les matrices
On rappelle qu'une application linéaire est entièrement déterminée par les
images des vecteurs d'une base. On peut ainsi caractériser une application
linéaire par une matrice c s i > . Plus précisément, on a la définition suivante.
DÉFINITION 8.18 Soient E un IR-espace vectoriel de dimension n muni d'une
base B et f une application linéaire de E dans E.
On appelle matrice associée à f relativement à la base B la matrice de Mn (IR)
dont la j-ième colonne est constituée par les composantes de l'image du jième vecteur de la base B exprimé dans la base B.
Cette définition permet d'affirmer que tout endomorphisme d'un IR-espace vectoriel E de dimension finie peut être représenté, relativement à une base, sous
forme matricielle. Inversement, une matrice carrée est toujours la représentation
d'une application linéaire. Plus précisément, on a la proposition suivante <82> .
PROPOSITION 8.23 Soit A une matrice carré de taille n à coefficients réels.
Il existe une unique application linéaire de !R n dans !R n admettant A pour matrice associée relativement à la base canonique. On dit qu 'une telle application
linéaire est canoniquement associée à la matrice A.
La définition 8.18 ainsi que la proposition 8.23 permettent <83> d'établir un isomorphisme d'espace vectoriel entre l'ensemble .CJR(E) des endomorphismes d'un
IR-espace vectoriel Ede dimension net l'ensemble M n (IR) des matrices carrées
de taille n. En dimension finie les résultats concernant les applications linéaires
peuvent ainsi toujours se traduire en terme matriciel.
Considérons par exemple un endomorphisme f E .CJR(E) et un couple de vecteurs (x, y) E E 2 tel que
Y = f(x).
Matriciellement, si on désigne par A E Mn(IR) la matrice de f dans une
base B, X et Y les matrices colonnes composées des coordonnées de x et y
dans la base B alors l'égalité y = f(x) s'écrit
Y=AX.
Les isométries étant des endomorphismes possédant des propriétés particulières,
les matrices associées auront elles aussi des propriétés spécifiques.
(Bl) Voir le Cours de première année, p. 407.
<52> Voir le Cours de première année, p. 413.
<53> Voir le Cours de première année, p. 415.
Isométries et matrices orthogonales
8.3.2 Matrices orthogonales
Rappels sur le lien entre les applications linéaires et les matrices
On rappelle qu'une application linéaire est entièrement déterminée par les
images des vecteurs d'une base. On peut ainsi caractériser une application
linéaire par une matrice c s i > . Plus précisément, on a la définition suivante.
DÉFINITION 8.18 Soient E un IR-espace vectoriel de dimension n muni d'une
base B et f une application linéaire de E dans E.
On appelle matrice associée à f relativement à la base B la matrice de Mn (IR)
dont la j-ième colonne est constituée par les composantes de l'image du jième vecteur de la base B exprimé dans la base B.
Cette définition permet d'affirmer que tout endomorphisme d'un IR-espace vectoriel E de dimension finie peut être représenté, relativement à une base, sous
forme matricielle. Inversement, une matrice carrée est toujours la représentation
d'une application linéaire. Plus précisément, on a la proposition suivante <82> .
PROPOSITION 8.23 Soit A une matrice carré de taille n à coefficients réels.
Il existe une unique application linéaire de !R n dans !R n admettant A pour matrice associée relativement à la base canonique. On dit qu 'une telle application
linéaire est canoniquement associée à la matrice A.
La définition 8.18 ainsi que la proposition 8.23 permettent <83> d'établir un isomorphisme d'espace vectoriel entre l'ensemble .CJR(E) des endomorphismes d'un
IR-espace vectoriel Ede dimension net l'ensemble M n (IR) des matrices carrées
de taille n. En dimension finie les résultats concernant les applications linéaires
peuvent ainsi toujours se traduire en terme matriciel.
Considérons par exemple un endomorphisme f E .CJR(E) et un couple de vecteurs (x, y) E E 2 tel que
Y = f(x).
Matriciellement, si on désigne par A E Mn(IR) la matrice de f dans une
base B, X et Y les matrices colonnes composées des coordonnées de x et y
dans la base B alors l'égalité y = f(x) s'écrit
Y=AX.
Les isométries étant des endomorphismes possédant des propriétés particulières,
les matrices associées auront elles aussi des propriétés spécifiques.
(Bl) Voir le Cours de première année, p. 407.
<52> Voir le Cours de première année, p. 413.
<53> Voir le Cours de première année, p. 415.