Algèbre bilinéaire
463
Démonstration A toute matrice A E S n (IR) , on peut associer la forme quadratique q sur !Rn définie par
\:lx E !R n q(x) = txAX,
le vecteur X correspondant à la matrice colonne dont les éléments sont les composantes du vecteur x dans la base canonique de !Rn. D'après le théorème 8.1,
il existe une base B de !Rn qui est q-orthogonale. La matrice D représentant
la forme quadratique q dans cette base q-orthogonale est diagonale <3 8> . Si P
désigne la matrice de passage de la base canonique de !R n à la base B alors P
est une matrice inversible <39> et on a D = tPAP. La matrice tPAP est donc
diagonale.
D
8.1.8 Décomposition en somme de carrés de formes linéaires
Quelques notions sur l'ensemble des formes linéaires
L'ensemble .C(E, IR) des formes linéaires sur un IR-espace vectoriel E possède
lui-même une structure de IR-espace vectoriel. Cet espace vectoriel .C(E, IR) est
généralement noté E* et est appelé le dual algébrique <4oJ de E.
Intéressons-nous au cas où l'espace vectoriel E est un espace vectoriel de dimension finie n. Le dual E* est un espace vectoriel de dimension finie et on
a <4•> dim E = dim E*. Considérons une base (ei, ... ,en) de E et définissons n
formes linéaires ej , j E { 1, ... , n} par
\:/ j E{l, . . . , n} ej :x�xj EIR,
où les réels x 1 , ... , X n désignent les composantes de x dans la base ( e 1 , ... , en).
Les formes linéaires ej sont caractérisées par les valeurs qu'elles prennent sur
une base de E. On a <42>
\:/(i,j) E {1, . .. , n} 2 ej (ei) = Ôij ·
Il est aisé de vérifier que les n formes linéaires ei,. .. , e� sont linéairement
indépendantes. Puisque l'espace vectoriel E* des formes linéaires sur E est un
espace vectoriel de dimension n, on en déduit que la famille ( ei, . . . , e�) est
une base de E*.
<3 8> Vo ir la remarque de la p. 461.
(39) .
"
Voir le Cours de prem1ere année p. 435.
(4 0 J Dans cet ouvrage, nous n'évoquerons que ce «dual » mais il existe d'autres notions de
dual. Ainsi, on appelle dual topologique (noté E') le sous-espace vectoriel de E* composé
des formes linéaires continues (pour la notion de continuité, il faut néanmoins que l'espace
vectoriel E soit muni par exemple d'une distance), voir la section 9.3 du chap. 9.
<4•> Plus généralement, si E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie alors l'espace
vectoriel C(E, F) des applications linéaires de E dans F est aussi de dimension finie et
on a dim C(E, F) = dim Ex dim F, voir le Cours de première année p. 416.
<42) Le symbole Ô; j vaut 1 si i = j et 0 si i ,P j. Ce symbole est généralement appelé symbole
de Kronecker.
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Démonstration A toute matrice A E S n (IR) , on peut associer la forme quadratique q sur !Rn définie par
\:lx E !R n q(x) = txAX,
le vecteur X correspondant à la matrice colonne dont les éléments sont les composantes du vecteur x dans la base canonique de !Rn. D'après le théorème 8.1,
il existe une base B de !Rn qui est q-orthogonale. La matrice D représentant
la forme quadratique q dans cette base q-orthogonale est diagonale <3 8> . Si P
désigne la matrice de passage de la base canonique de !R n à la base B alors P
est une matrice inversible <39> et on a D = tPAP. La matrice tPAP est donc
diagonale.
D
8.1.8 Décomposition en somme de carrés de formes linéaires
Quelques notions sur l'ensemble des formes linéaires
L'ensemble .C(E, IR) des formes linéaires sur un IR-espace vectoriel E possède
lui-même une structure de IR-espace vectoriel. Cet espace vectoriel .C(E, IR) est
généralement noté E* et est appelé le dual algébrique <4oJ de E.
Intéressons-nous au cas où l'espace vectoriel E est un espace vectoriel de dimension finie n. Le dual E* est un espace vectoriel de dimension finie et on
a <4•> dim E = dim E*. Considérons une base (ei, ... ,en) de E et définissons n
formes linéaires ej , j E { 1, ... , n} par
\:/ j E{l, . . . , n} ej :x�xj EIR,
où les réels x 1 , ... , X n désignent les composantes de x dans la base ( e 1 , ... , en).
Les formes linéaires ej sont caractérisées par les valeurs qu'elles prennent sur
une base de E. On a <42>
\:/(i,j) E {1, . .. , n} 2 ej (ei) = Ôij ·
Il est aisé de vérifier que les n formes linéaires ei,. .. , e� sont linéairement
indépendantes. Puisque l'espace vectoriel E* des formes linéaires sur E est un
espace vectoriel de dimension n, on en déduit que la famille ( ei, . . . , e�) est
une base de E*.
<3 8> Vo ir la remarque de la p. 461.
(39) .
"
Voir le Cours de prem1ere année p. 435.
(4 0 J Dans cet ouvrage, nous n'évoquerons que ce «dual » mais il existe d'autres notions de
dual. Ainsi, on appelle dual topologique (noté E') le sous-espace vectoriel de E* composé
des formes linéaires continues (pour la notion de continuité, il faut néanmoins que l'espace
vectoriel E soit muni par exemple d'une distance), voir la section 9.3 du chap. 9.
<4•> Plus généralement, si E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie alors l'espace
vectoriel C(E, F) des applications linéaires de E dans F est aussi de dimension finie et
on a dim C(E, F) = dim Ex dim F, voir le Cours de première année p. 416.
<42) Le symbole Ô; j vaut 1 si i = j et 0 si i ,P j. Ce symbole est généralement appelé symbole
de Kronecker.