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Formes bilinéaires et formes quadratiques
Étant donné une forme quadratique, une question que l'on peut se poser est de
savoir s'il existe toujours une base orthogonale pour cette forme quadratique.
Le théorème suivant apporte la réponse.
THÉORÈME 8.1 Soient E un IR.-espace vectoriel de dimension finie et q une
forme quadratique sur E. L'espace vectoriel E admet une base q-orthogonale.
Démonstration On procède par récurrence sur la dimension de E. Pour tout
n E N*, on va prouver l'assertion (Pn ) suivante :
«Pour tout IR.-espace vectoriel Ede dimension net toute forme
quadratique q sur E, il existe une base q-orthogonale de E. »
12:: Si n = 1 alors une base d'un IR.-espace vectoriel de dimension n = 1 est formé
par n'importe quel élément non nul de E. Pour toute forme quadratique, une
telle base est q-orthogonale : la propriété (P1 ) est donc vraie.
12:: Supposons la propriété (Pn ) vraie pour un entier n E N* et montrons que
cela entraîne que la propriété (Pn+d est vraie. Soient E un IR.-espace vectoriel
de dimension n + 1 et q une forme quadratique sur E. Si q est l'application
nulle alors toute base de E est q-orthogona.le. Intéressons-nous au cas où q
n'est pas l'application nulle : il existe v E E tel que q(v) =!=O. La forme polaire
de Ed e dimension <36> n. D'après l'hypothèse de récurrence (Pn ) , il existe une
base ( e1, e 2 , ... , en) de H orthogonale pour la forme quadratique
<37J
q l H. Ainsi,
la famille { e1, e 2 , ... ; en, v} est une base q-orthogonale de E : la propriété
(Pn+1) est vraie.
D
Jusqu'à présent nous avons utilisé les propriétés matricielles (produit d'une
matrice par un vecteur, changement de bases, etc.) afin d'obtenir des résultats
sur les formes bilinéaires ou quadratiques. Ici, c'est le contraire : la formulation
du théorème 8.1 sous forme matricielle implique le résultat suivant.
PROPOSITION 8.11 Toute matrice symétrique réelle est congrue à une matrice diagonale. En d'autres termes, pour toute matrice A E Sn (IR.) il existe
une matrice P telle que tPAP soit diagonale. De plus, la matrice P est inversible.
<35l Rappelons que le noyau d'une applicatfon linéaire f: E __, F est le sous-espace vectoriel
de E défini par Ker(!) = {x E E ; f(x) = O}.
<35> En effet, le noyau d'une forme linéaire non nulle f : E _,IR est un hyperplan, c'est-à-dire
un sous-espace vectoriel de dimension dim(E) - 1. Ce résultat se déduit du théorème du
rang (voir le Cours de première année p. 376) : on a dim(E) = dim(Ker(f)) +dim(Im(f))
avec, pour une forme linéaire non nulle lm(!) = IR.
<37l La restriction d'une forme quadratique sur E à un sous-espace vectoriel de E est encore
une forme quadratique, voir p. 448.
Formes bilinéaires et formes quadratiques
Étant donné une forme quadratique, une question que l'on peut se poser est de
savoir s'il existe toujours une base orthogonale pour cette forme quadratique.
Le théorème suivant apporte la réponse.
THÉORÈME 8.1 Soient E un IR.-espace vectoriel de dimension finie et q une
forme quadratique sur E. L'espace vectoriel E admet une base q-orthogonale.
Démonstration On procède par récurrence sur la dimension de E. Pour tout
n E N*, on va prouver l'assertion (Pn ) suivante :
«Pour tout IR.-espace vectoriel Ede dimension net toute forme
quadratique q sur E, il existe une base q-orthogonale de E. »
12:: Si n = 1 alors une base d'un IR.-espace vectoriel de dimension n = 1 est formé
par n'importe quel élément non nul de E. Pour toute forme quadratique, une
telle base est q-orthogonale : la propriété (P1 ) est donc vraie.
12:: Supposons la propriété (Pn ) vraie pour un entier n E N* et montrons que
cela entraîne que la propriété (Pn+d est vraie. Soient E un IR.-espace vectoriel
de dimension n + 1 et q une forme quadratique sur E. Si q est l'application
nulle alors toute base de E est q-orthogona.le. Intéressons-nous au cas où q
n'est pas l'application nulle : il existe v E E tel que q(v) =!=O. La forme polaire
de Ed e dimension <36> n. D'après l'hypothèse de récurrence (Pn ) , il existe une
base ( e1, e 2 , ... , en) de H orthogonale pour la forme quadratique
<37J
q l H. Ainsi,
la famille { e1, e 2 , ... ; en, v} est une base q-orthogonale de E : la propriété
(Pn+1) est vraie.
D
Jusqu'à présent nous avons utilisé les propriétés matricielles (produit d'une
matrice par un vecteur, changement de bases, etc.) afin d'obtenir des résultats
sur les formes bilinéaires ou quadratiques. Ici, c'est le contraire : la formulation
du théorème 8.1 sous forme matricielle implique le résultat suivant.
PROPOSITION 8.11 Toute matrice symétrique réelle est congrue à une matrice diagonale. En d'autres termes, pour toute matrice A E Sn (IR.) il existe
une matrice P telle que tPAP soit diagonale. De plus, la matrice P est inversible.
<35l Rappelons que le noyau d'une applicatfon linéaire f: E __, F est le sous-espace vectoriel
de E défini par Ker(!) = {x E E ; f(x) = O}.
<35> En effet, le noyau d'une forme linéaire non nulle f : E _,IR est un hyperplan, c'est-à-dire
un sous-espace vectoriel de dimension dim(E) - 1. Ce résultat se déduit du théorème du
rang (voir le Cours de première année p. 376) : on a dim(E) = dim(Ker(f)) +dim(Im(f))
avec, pour une forme linéaire non nulle lm(!) = IR.
<37l La restriction d'une forme quadratique sur E à un sous-espace vectoriel de E est encore
une forme quadratique, voir p. 448.