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Séries réelles à termes positifs
Remarque On utilise le critère de comparaison d'une série à une intégrale
généralisée lorsque les autres critères permettant d'établir la nature d'une série
à termes positifs ne permettent pas de conclure rapidement et qu'il est facile
de déterminer la nature de l'intégrale généralisée par un calcul de primitive.
Dans les autres cas ce critère est de peu d'intérêt dans la mesure où les critères
permettant d'établir la nature de l'intégrale généralisée d'une fonction positive
sont du même type que ceux permettant d'établir la nature d'une série à termes
positifs.
o
Bien que la série En�no f (n) et l'intégrale généralisée In : = f(t) dt soient
de même nature, si elles convergent, la somme de la série est en général différente de la valeur de l'intégrale généralisée. Ainsi, l'application
f : x E [1, +oo[i-. 1/x2 est positive et décroissante. Pour tout réel x ;;;: : 1
on a
r � dt = [-�]X = 1 - �,
1 1 t
t l X
On en déduit que f 1 + = f (t) dt = lim x _, +oo Jt 1/t2 dt = 1. Par contre, la
série En�l l/n2 converge mais sa somme vaut 71'2 /6, voir l'exercice 1.15.
PROPOSITION 1. 7 Soient no E N et f une application de [no, +oo( dans �.
positive et décroissante, telle que la série En�no f (n) converge.
Pour N > no, le reste d'ordre N de la série En�no f(n) , qui est défini par
R N = E t :° N+l f(k), vérifie :
l +
+ : f (t) dt � R N � l + oo
J(t) dt.
Démonstration La décroissance de f implique que pour tout k E N avec
k ;;;: : no, on a f(k + 1) � f(t) � f(k) pour tout t E (k, k + l] ; par conséquent
1
k+l
f(k + 1) � k
f(t) dt � f(k).
On en déduit que 1 k+l
f(t) dt � f(k) � 1 k
f(t) dt et en sommant ces
k
k- 1
inégalités pour k ;;;: : N + 1, on obtient :
r+ =
J(t) dt � � J(k) � r+ =
J(t) dt.
j N+l
k=N+l j N
Le résultat est démontré.
0
Il résulte de la proposition 1.7 qu'en approchant la somme de la série En�no f(n)
par z=: =no f(n) , on commet une erreur qui est comprise entre J ; ';.i f(t) dt
et J ; 00 f (t) dt.