Séries numériques
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Si la série L n f ( n) converge et a pour somme le réel S alors, puisque f est positive, on a I.: �l x � o f(k) �S. L'application F est donc majorée et par conséquent
l'intégrale généralisée J�00 f(t) dt converge.
� Inversement, supposons que l'intégrale généralisée J�00 f (t) dt converge et
notons I = f n : oo f(t) dt = lim x - +oo J: 0 f(t) dt. De la relation (5), on déduit
que :
N
N
N
L f(k) = f(no) + L f(k) � f(no) + F(N) = f(no) + 1 f(t) dt.
k= n o
k= n o + 1
n o
Comme f est positive, on a J:'a f(t) dt � I. On en déduit que la suite des
sommes partielles associée à la série L n�n o f(n) est majorée par f(no) + I.
C
f
. .
.
.
é
11
( 27 )
omme est positive, cette smte est cr01ssante ; par cons quent e e converge .
La série L n�n o f(n) est donc bien une série convergente.
D
Interprétation graphique
Pour tout entier k � no, f(k) est l'aire du pavé r k = [k, k + 1] x [O, f(k)].
L'aire cumulée des pavés r k pour k � no est finie si et seulement si l'aire sous
la représentation graphique de la fonction f sur l'intervalle [no, +oo[ est finie.
J(k)
0
Fig. 1 Illustration de la comparaison série - intégrale généralisée.
Exemple Il est facile de vérifier que la fonction f: x t--t x -1 1n(x) -1 est positive et décroissante sur ] 1, +oo[ et qu'elle admet pour primitive x t--t ln(ln(x)).
L'intégrale généralisée J 2
+ 00 C 1 ln(t) -1 dt diverge car
1
x C1 ln(t) -1 dt = ln(ln(x)) - ln(ln(2)) et lim ln(ln(x)) = +oo
x ->+oo
Ceci implique que la série L n� 2 n l � ( n) diverge.
<27> Voir la proposition 5 . 16 p. 183 du Cours de première année.