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Distance et espace métrique
être munis de distances. On peut en particulier introduire des distances sur des
ensembles de fonctions comme l' illustrent les exemples suivants.
Exemples On désigne par a et b deux réel s tel s que a < b.
l. L' application
di : (f, g) E C 0 ([a, b], IR) X C 0 ([a, b j ,IR) f--+ 1 b / f(x) - g(x)/ dx
est une distance sur l' ensemble C 0 ([a, b], IR) des applications continues sur [a, b] ,
à val eurs réelles. Remarquons que pour tous f et g appartenant à C 0 ([a, b] , IR),
l' application f : x E (a, b] 1-7 / f(x) - g (x) / est continue et donc Riemannintégrable ' 6l sur [a, b] . Par conséquent d1(f, g) est bien définie, voir la figure l.
Vérifions que d i satisfait aux quatre conditions de la définition 7.1.
- Si f et g sont deux applications continues sur [a, b] alors l'application
x E (a, b] 1-7 / f(x) - g(x)/ étant continue et positive sur l' intervalle [a, b], on
(7)
f, b
a d' une part a / f(x) - g(x)/ dx � 0 et d' autre part
1 b / f(x) - g(x)/ dx = 0 *=* 't/ x E (a, b] /f(x) - g(x) / = 0 *=* f = g,
autrement dit : d i (f, g) � 0 et (d i (f, g) = 0 {::} f = g).
- Soit (f, g) E C 0 ((a, b],IR) 2 ; pour tout réel x E (a, bJ on a / f(x) - g(x) / =
/ g(x) - f(x)/ ce qui implique que d i (f, g) = d i (g, f).
- Pour (f, g, h ) E C 0 ([a, b] , IR) 3 on obtient en utilisant l a première inégalité
triangulaire pour la valeur absolue :
Vx E [a, b]
0
d'd " t(S)
n en e m que :
/ f(x) - h(x)/ � / f(x) - g(x)/ + / g(x) - h(x)/.
1 b / f(x) - h(x)/ dx � 1 b / f(x) - g(x)/ dx + 1 b / g(x) - h (x)/ dx,
autrement dit que : d i (f, h) � d i (f, g) + d i (g, h) .
2. L' application
d oo : (f, g) E c 0 ([a, b], IR) X c 0 ([a, b] , IR) f--+ sup If (x) - g(x )/
x E(a , b)
est également une distance sur C 0 ([a, b], IR) appelée distance de la convergence
uniforme.
(G) Voir la proposition 18.2 p. 842 du Cours de première année.
<7> Voir la proposition 18.5 p. 844 du Cours de première année.
(S) Voir la proposition 18.4 p. 844 du Cours de première année.
Distance et espace métrique
être munis de distances. On peut en particulier introduire des distances sur des
ensembles de fonctions comme l' illustrent les exemples suivants.
Exemples On désigne par a et b deux réel s tel s que a < b.
l. L' application
di : (f, g) E C 0 ([a, b], IR) X C 0 ([a, b j ,IR) f--+ 1 b / f(x) - g(x)/ dx
est une distance sur l' ensemble C 0 ([a, b], IR) des applications continues sur [a, b] ,
à val eurs réelles. Remarquons que pour tous f et g appartenant à C 0 ([a, b] , IR),
l' application f : x E (a, b] 1-7 / f(x) - g (x) / est continue et donc Riemannintégrable ' 6l sur [a, b] . Par conséquent d1(f, g) est bien définie, voir la figure l.
Vérifions que d i satisfait aux quatre conditions de la définition 7.1.
- Si f et g sont deux applications continues sur [a, b] alors l'application
x E (a, b] 1-7 / f(x) - g(x)/ étant continue et positive sur l' intervalle [a, b], on
(7)
f, b
a d' une part a / f(x) - g(x)/ dx � 0 et d' autre part
1 b / f(x) - g(x)/ dx = 0 *=* 't/ x E (a, b] /f(x) - g(x) / = 0 *=* f = g,
autrement dit : d i (f, g) � 0 et (d i (f, g) = 0 {::} f = g).
- Soit (f, g) E C 0 ((a, b],IR) 2 ; pour tout réel x E (a, bJ on a / f(x) - g(x) / =
/ g(x) - f(x)/ ce qui implique que d i (f, g) = d i (g, f).
- Pour (f, g, h ) E C 0 ([a, b] , IR) 3 on obtient en utilisant l a première inégalité
triangulaire pour la valeur absolue :
Vx E [a, b]
0
d'd " t(S)
n en e m que :
/ f(x) - h(x)/ � / f(x) - g(x)/ + / g(x) - h(x)/.
1 b / f(x) - h(x)/ dx � 1 b / f(x) - g(x)/ dx + 1 b / g(x) - h (x)/ dx,
autrement dit que : d i (f, h) � d i (f, g) + d i (g, h) .
2. L' application
d oo : (f, g) E c 0 ([a, b], IR) X c 0 ([a, b] , IR) f--+ sup If (x) - g(x )/
x E(a , b)
est également une distance sur C 0 ([a, b], IR) appelée distance de la convergence
uniforme.
(G) Voir la proposition 18.2 p. 842 du Cours de première année.
<7> Voir la proposition 18.5 p. 844 du Cours de première année.
(S) Voir la proposition 18.4 p. 844 du Cours de première année.