Espaces métriques et espaces vectoriels normés
347
Nous avons évoqué en introduction le fait que l' application (x, y) E JR2 1-t lx -yl
définit une distance sur R Cette distance est qualifiée de distance « usuelle »
(ou « canonique » ) sur lR mais l' ensemble des réels peut être muni d' autres
distances comme par exemple celle définie dans l' exercice suivant.
Exercice 7.1 Montrer que l' application
d: (x, y) E JR 2 t--- -7 ln (1 + l x - yl )
1 + l x - yl
définit une distance dans R
D' une façon générale, si f est une application injective définie sur lR à valeurs
dans lR alors l' application d: (x, y) E JR 2 1-t lf(x) - f(y)I est une distance sur JR.
En effet, il résulte des propriétés de la valeur absolue que pour tout (x, y) E JR2
on a d(x, y) ;;:: 0 et d(x, y) = d(y, x). Par ailleurs, d(x, y) = 0 si et seulement
si f(x) = f(y) ; sous l' hypothèse que f est une application injective ' 3J cette
dernière relation équivaut à x = y. Enfin, pour tout (x, y, z ) E JR3 on obtient
en utilisant les propriétés de la valeur absolue < 4J ,
d(x, y)
lf(x) - f(y)I = lf(x) - f( z ) + f( z ) - f(y)I
� l f(x) - f( z ) I + lf(z) - f(y)I = d(x, z ) + d( z , y).
Par exemple, l' application arc-tangente étant injective de lR dans J - � ' �[,
l' application d: (x, y) E JR 2 1-t 1 arctan(x) - arctan(y)I est une distance sur R
Sur le même principe, l' application f de iR dans [- 1, 1] définie par c sJ
X
f(x) = 1 + lxl si x E lR et f(+oo) = 1, f(-oo) = -1
étant injective, l' application d: (x, y) E iR x iR 1-t lf(x) - f(y)I est une distance
sur iR.
·
Exercice 7.2
1 - Montrer que si cf; est une application de [O, +oo( dans JR, strictement croissante, vérifiant c/;(O) = 0 et cj;(u + v ) � cj;(u) + cj;(v) pour tout
(u, v ) E [0, +oo[ 2 alors l' application d: (x, y) E JR 2 1-t c/;(lx - yl) est une
distance sur R
2 - En déduire que (x, y) E JR 2 1-t 1 fi��� I est une distance sur R
3 - Plus généralement, montrer que si ô est une distance sur lR alors
d: (x, y) E JR2 1-t c/;(ô(x, y)) est aussi une distance sur R
Bien entendu, il existe de nombreux ensembles autres de lR ou C qui peuvent
(3) Voir la définition 2.19 p. 41 du Cours de première année.
(4} Voir la proposition 3 . 7 p. 102 du Cours de première an née.
(s) On rappelle que i = IR U { +oo, -oo} désigne la droite numérique achevée, voir le Cours
de première année p. 112.
347
Nous avons évoqué en introduction le fait que l' application (x, y) E JR2 1-t lx -yl
définit une distance sur R Cette distance est qualifiée de distance « usuelle »
(ou « canonique » ) sur lR mais l' ensemble des réels peut être muni d' autres
distances comme par exemple celle définie dans l' exercice suivant.
Exercice 7.1 Montrer que l' application
d: (x, y) E JR 2 t--- -7 ln (1 + l x - yl )
1 + l x - yl
définit une distance dans R
D' une façon générale, si f est une application injective définie sur lR à valeurs
dans lR alors l' application d: (x, y) E JR 2 1-t lf(x) - f(y)I est une distance sur JR.
En effet, il résulte des propriétés de la valeur absolue que pour tout (x, y) E JR2
on a d(x, y) ;;:: 0 et d(x, y) = d(y, x). Par ailleurs, d(x, y) = 0 si et seulement
si f(x) = f(y) ; sous l' hypothèse que f est une application injective ' 3J cette
dernière relation équivaut à x = y. Enfin, pour tout (x, y, z ) E JR3 on obtient
en utilisant les propriétés de la valeur absolue < 4J ,
d(x, y)
lf(x) - f(y)I = lf(x) - f( z ) + f( z ) - f(y)I
� l f(x) - f( z ) I + lf(z) - f(y)I = d(x, z ) + d( z , y).
Par exemple, l' application arc-tangente étant injective de lR dans J - � ' �[,
l' application d: (x, y) E JR 2 1-t 1 arctan(x) - arctan(y)I est une distance sur R
Sur le même principe, l' application f de iR dans [- 1, 1] définie par c sJ
X
f(x) = 1 + lxl si x E lR et f(+oo) = 1, f(-oo) = -1
étant injective, l' application d: (x, y) E iR x iR 1-t lf(x) - f(y)I est une distance
sur iR.
·
Exercice 7.2
1 - Montrer que si cf; est une application de [O, +oo( dans JR, strictement croissante, vérifiant c/;(O) = 0 et cj;(u + v ) � cj;(u) + cj;(v) pour tout
(u, v ) E [0, +oo[ 2 alors l' application d: (x, y) E JR 2 1-t c/;(lx - yl) est une
distance sur R
2 - En déduire que (x, y) E JR 2 1-t 1 fi��� I est une distance sur R
3 - Plus généralement, montrer que si ô est une distance sur lR alors
d: (x, y) E JR2 1-t c/;(ô(x, y)) est aussi une distance sur R
Bien entendu, il existe de nombreux ensembles autres de lR ou C qui peuvent
(3) Voir la définition 2.19 p. 41 du Cours de première année.
(4} Voir la proposition 3 . 7 p. 102 du Cours de première an née.
(s) On rappelle que i = IR U { +oo, -oo} désigne la droite numérique achevée, voir le Cours
de première année p. 112.