Séries de Fourier
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b) Pour tout k E N* tel que k � n/2 on a [ vk , , vk] C [ O, 7r] donc si.
t E [ vk1' vk] alors !t E ( 0, 7r /2]. Comme l a fonction sinus est croissante sur
( 0, 7r /2], on en déduit que pour tout t E ( vk1, vk] on a sin( !t) :;, , sin( !vk_i) :;, , O.
On déduit alors de l' expression obtenue à la question précédente que
J
(n ) (n )
1 1
V k
. 1 1
m k - m k -l � . ( 1 ) s m (2nt) cos(2(n + l)t) dt.
Slll 2Vk -1 V k -I
c) On a
1 ::1 sin(!nt) cos(!(n + l)t) dt
= [- 2 n�l cos ( 2 n f1t) +cos(!t)[: _ ,
l
1
V k
2
(sin( 2 n i 1 t) - sin(!t)) dt
V k -
1
2 n�l (cos ( 21 1 l 1 vk -1 ) - cos ( 211 l 1 vk)) + cos(!vk) - cos(!vk -1 ).
Comme
2n + 1 Vk -l = 2n + 1 2k - 1 11" = (2 k
_
l)7r
_
2k - 1 �
2
2 n+l
n+ 1 2
on en déduit que cos (2Y 1 vk -l ) = (- 1 ) 2 k -1 cos ( �;1 1 �). De même,
cos ( 21 1 f1 vk) = (- 1 ) 2 k +l cos ( �ti1 �). On a donc
J
( -1) 2 k +1
( cos ( 2 k -l .z!: ) - cos ( 2 k +l .z!: )) +cos ( 2 k +l .z!: ) - cos ( 2 k -l .z!: )
2 n +l
n +l 2
n +l 2
n +l 2
n +l 2
( 1 - ( -1 )
2k +
1 ) ( cos ( 2 k +l 1!: ) - cos ( 2 k -l .z!: ))
2 n +l
n +l 2
n +l 2
(
( -1) 2k+
I
)
•
k • 1
2 2 n +l - 1 s m ( n +l 7r) s m ( 2 (n +1 ) 7r).
On notera que MAPLE ne parvient pas à obtenir une expression aussi simple
que celle-ci.
d) Pour tout k E { 1 , ... ,E( � )} on a n � l 7r E]0,7r[ donc sin( n � 1 7r) > 0 et
par conséquent J < O. Comme !vk -l = ��+� 7r appartient à JO, 7r[ pour tout
k E { 1 , ... , EG )}, on a sin(!vk -1 ) > 0 et on en déduit que mk n ) - mk� 1 < O.
La suite (mk n ))kE {O, . . . ,E( � ) } est donc strictement décroissante.
4 - a) Pour tout n E N, on a
µ n = sup Bn(x) = max{mk n ) ; k E {O, ... , E(� )} = m6 n )
x E[ 0 ,
7r
)
car la suite (mk n )) k e{ o, . .. , E (�)} est strictement décroissante.
b) Pour tout n EN, on a
Bn( n � l 7r) = t � sin ( n
k : 1 )
k=l
= �� sin ( � ) = _ 11" _ � n+ 1 sin ( � ) .
� k n+l n+l � k11" n+l
k=O
k=O