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Solutions des exercices
> simplify(Tn(n,t(k )));
.
( 4nk + n + 2k) ( 4nk + n + 2k)
s111 7r 4(n + 1)
cos 7r
4n
> simplify(Tn (n ,s(k))) ;
. ( 4nk + 2k + 3n + 2 ) ( 4nk + 2k + 3n + 2 )
s111 7r
4(n + 1)
cos 7r
4n
P
_
n 2k(2n + 1) + n b
_
n 2k(2n + 1) + n .
osons a nk - - 4
1
et nk - - 4
, on a
n+
n
Tn(tk) = sin (ank) cos (bnk) ,
Tn(sk) = sin ( ank + �) cos ( bnk + 2 : + �) = - cos (ank) sin ( bnk + 2 : ) .
On peut remarquer que l'on a aussi a nk = kn + Œ nk et bnk = kn + f3nk où
n n - 2k
O:nk =
4 n + 1 et f3 nk = �
n + 2k .
4 n
Comme pour tout réel B, on a sin(B + kn) (-l) k sin(B) et cos(B + kn) =
(-l) k cos(B), on en déduit que :
Tn(tk) = sin (o:nk) COS (f3nk) et T n(sk) = - cos (o:nk) sin ( f3 nk + 2 : ) .
C
k < n . - 7r n- 2 k E)O 7r ] t /3 -
7r n+ 2 k E [ 7r 7r [ D 1
omme
2, on a O:nk - 4 n +l , 4 e nk - 4 - n - 4, 2 . e pus
f3 nk + 2 : E [�, n[. On en déduit d'une part que sin (o:nk) > 0, cos (f3nk) > 0
et d'autre part que cos (o:nk) > 0, sin (f3nk + 2 7;,) > O. On en conclut que
T n( tk) > 0 et T n(sk) < 0 pour tout k E N avec k < � -
e)
On déduit de l'étude précédente le tableau de variation suivant pour Sn
sur [ü, n] :
X
0 to Vo so Ut t 1 V1 . . . Um t m Vm
7r
S�(x) n + 0 - 0 + 0 . .. 0 + 0 -
Sn(x) / � /
/
�
0
0
où on a posé m = E(n/2). Le tableau de variation indique que les maxima
relatifs de S n(x) sont les réels mi n ) = S, ,(vk) où k EN est tel que k :::; ; n/2.
3 - a) Soit k E N* tel que k :::; ; n/2 ; on a
mi n ) - mi� 1 Sn(vk) - Sn(Vk -1 ) = 1 v
k
· S�(t) dt
Vk•t
=
rk· sin(!nt) � os �!( n + l)t) dt
.
l v k-i
s111 ( 2t)