Séries numériques
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Exercice 1.2
1 - Soit (Sn)n la suite des sommes partielles associée à la série L n;;:: l ( -1 ) n �.
a) Montrer que la suite extraite de (Sn)n correspondant aux termes d'indices pairs et la suite extraite correspondant aux termes d'indices impairs
sont deux suites adjacentes.
b) En déduire que la série L n ;;,: 1 (-lr� converge.
2 - On considère l'application f: x E (0, 1] r--+ ln(l + x ) .
a) Justifier que f est indéfiniment dérivable et calculer sa dérivée n-ième
pour tout n EN.
b) En appliquant la formule de Taylor-Lagrange, déterminer la somme
de la série L n;;:: l (-l) n � .
Contrairement à ce que pourraient laisser croire les exemples précédents, il est
rare que l'on puisse calculer la valeur de la somme d'une série numérique de
manière explicite. Dans la plupart des cas, on peut assez facilement établir,
à l'aide des différents critères qui seront présentés dans ce chapitre, que la
série converge mais il est beaucoup plus difficile d'en calculer la somme. En
général, on doit se contenter d'une valeur approchée de la somme de la série.
Celle-ci peut être obtenue sur le principe suivant : puisque la suite des sommes
partielles (Un)n associée à la série L n Un converge vers la somme µ de la série,
une approximation de µ est donnée par U N
= L : = o Un pour N assez (ou très)
grand. Le problème qui se pose alors est de déterminer, avant d'effectuer le
calcul, quelle doit être la valeur de N à prendre pour que l'erreur soit inférieure
à une valeur donnée (généralement 10 -3 ou 10 - 6) .
Reprenons l'exemple de la série L n 1/n! qui a pour somme e. Nous avons
établi que pour tout n E N on avait IUn - el < e/(n + 1) !. Cela signifie que
U N
=
L : = o 1/n ! fournit une valeur approchée de la somme de la série avec
une erreur qui est plus petite que e/(N + 1) !. En général, la question se pose
dans le sens inverse : pour obtenir une valeur approchée de la somme de la
série avec une erreur inférieure à 10-6, quelle valeur de N faut-il prendre ?
Dans cet exemple, il faut que N soit tel que e/(N + 1) ! ,,,; . 10 - 6. On peut
essayer d'avoir recours à MAPLE pour obtenir la valeur de N correspondante.
Une première tentative avec la commande solve ( exp(1)/N !=10** (-6) , N)
permet de s'apercevoir que MAPLE ne sait pas résoudre formellement cette
équation. L'instruction <9> fsolve (exp(l) /N ! =10** (-6) , N=O .. 100) , permet
d'obtenir pour solution approchée 9, 876846513. On retient donc N = 10.
<9> On observera que l'instruction fsolve (exp(1)/N !=10** (-6) , N) fournit une solution négative (-2.000000368) qui très clairement ne nous intéresse pas ici. Dans l'instruction
fsolve (exp(1)/N !=10** (-6) , N=O .. 100) on impose à MAPLE de rechercher une solution
comprise entre 0 et 100, donc positive.
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Exercice 1.2
1 - Soit (Sn)n la suite des sommes partielles associée à la série L n;;:: l ( -1 ) n �.
a) Montrer que la suite extraite de (Sn)n correspondant aux termes d'indices pairs et la suite extraite correspondant aux termes d'indices impairs
sont deux suites adjacentes.
b) En déduire que la série L n ;;,: 1 (-lr� converge.
2 - On considère l'application f: x E (0, 1] r--+ ln(l + x ) .
a) Justifier que f est indéfiniment dérivable et calculer sa dérivée n-ième
pour tout n EN.
b) En appliquant la formule de Taylor-Lagrange, déterminer la somme
de la série L n;;:: l (-l) n � .
Contrairement à ce que pourraient laisser croire les exemples précédents, il est
rare que l'on puisse calculer la valeur de la somme d'une série numérique de
manière explicite. Dans la plupart des cas, on peut assez facilement établir,
à l'aide des différents critères qui seront présentés dans ce chapitre, que la
série converge mais il est beaucoup plus difficile d'en calculer la somme. En
général, on doit se contenter d'une valeur approchée de la somme de la série.
Celle-ci peut être obtenue sur le principe suivant : puisque la suite des sommes
partielles (Un)n associée à la série L n Un converge vers la somme µ de la série,
une approximation de µ est donnée par U N
= L : = o Un pour N assez (ou très)
grand. Le problème qui se pose alors est de déterminer, avant d'effectuer le
calcul, quelle doit être la valeur de N à prendre pour que l'erreur soit inférieure
à une valeur donnée (généralement 10 -3 ou 10 - 6) .
Reprenons l'exemple de la série L n 1/n! qui a pour somme e. Nous avons
établi que pour tout n E N on avait IUn - el < e/(n + 1) !. Cela signifie que
U N
=
L : = o 1/n ! fournit une valeur approchée de la somme de la série avec
une erreur qui est plus petite que e/(N + 1) !. En général, la question se pose
dans le sens inverse : pour obtenir une valeur approchée de la somme de la
série avec une erreur inférieure à 10-6, quelle valeur de N faut-il prendre ?
Dans cet exemple, il faut que N soit tel que e/(N + 1) ! ,,,; . 10 - 6. On peut
essayer d'avoir recours à MAPLE pour obtenir la valeur de N correspondante.
Une première tentative avec la commande solve ( exp(1)/N !=10** (-6) , N)
permet de s'apercevoir que MAPLE ne sait pas résoudre formellement cette
équation. L'instruction <9> fsolve (exp(l) /N ! =10** (-6) , N=O .. 100) , permet
d'obtenir pour solution approchée 9, 876846513. On retient donc N = 10.
<9> On observera que l'instruction fsolve (exp(1)/N !=10** (-6) , N) fournit une solution négative (-2.000000368) qui très clairement ne nous intéresse pas ici. Dans l'instruction
fsolve (exp(1)/N !=10** (-6) , N=O .. 100) on impose à MAPLE de rechercher une solution
comprise entre 0 et 100, donc positive.