tend vers +oo.
6. Pour déterminer la nature de la série de terme général Un = ( -1 r / ..jn,
intéressons-nous aux suites (Sn)n et (Tn)n extraites de la suite des sommes
partielles (Un)n associée à cette série et correspondant aux termes d'indices
pairs et aux termes d'indices impairs :
2n+2
Sn = U2n+2 = L Uk,
k=l
2n+l
Tn = U2n+l � L Uk .
k=l
La suite (Un)n, et par conséquent la série L n>-l Un, convergent si et seulement
"'
si les deux suites extraites (Sn)n et (Tn)n convergent vers une même limite < 7> .
Cette limite est alors la limite de la suite (Un)n et la somme de la série L n;:,l Un·
Pour tout n E N, on a
2n+4
2n+2
l
Sn +l - Sn = L Uk - L Uk = U2n+4 + U2n+3 = ---==
k=l
k=l
../2n + 4
1 < 0
../2n + 3 '
2n+3
2n+l
1
1
Tn +l - Tn = L Uk - L Uk = U2n+3 + U2n+2 = - � + � > 0,
k=l
k=l
v2n+3 v2n+2
ce qui signifie que la suite (Sn)n est strictement décroissante et la suite (Tn)n
est strictement croissante. Par ailleurs,
2n+2
2n+l
l
Sn - Tn = L Uk - L Uk = U2n+2 = y'2n+2'
k=l
k=l
2n + 2
On en déduit que les deux suites (Sn)n et (Tn)n sont des suites adjacentes ;
elles convergent vers une même limite f qui vérifie :
Vn EN
La série L n;:,l (-.}{ est don� une série convergente. On peut obtenir une valeur
approchée de la somme de cette série en calculant les valeurs de Sn et Tn pour n
« assez grand » : f vaut approximativement �(Sn+Tn) = Sn+�u 2n+2 et l'erreur
commise est inférieure à �(Sn - Tn)· Pour obtenir une valeur approchée de f
avec une erreur inférieure à 10-3 (trois chiffres significatifs), il faut choisir n de
sorte que :
1
1
- 3
-(S n - Tn) = y'2nTI � 10 .
2
2 2n + 2
On a 2..;2 � +2 � 10 -3 pour n � 124 999. Cette méthode pour calculer une
valeur approchée de la somme se révèle un peu coüteuse en calculs. Une valeur
approchée de la somme de la série est : -0.604.
< 7> Voir la proposition 5.19 p. 189 du Cours de premiere année.
( s ) Voir la définition 5.6 et le théorème 5.2 p. 185 du Cours de première année.