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Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 5. 5
Appliquons le théorème des accroissements finis <39> à la fonction exponentielle
complexe entre z et 0 :
1 exp(z) - li = 1 exp(z) - exp(O)I � l z l sup 1 exp(()I = lzl sup 1 exp(tz)I.
(E[O ,z ],
t E[O,l]
On a 1 exp(tz) I = ie tn e(z) e
i tim (z) 1 = e tn e(z) .
- Si Re(z) < 0 la fonction

1--+
e tn e(z) est positive, strictement décroissante
sur [O, 1] donc sup t E[O,l ) e tn e(z) = 1;
- si Re(z) = 0 la fonction

- si Re (z) > 0 la fonction

SllP t E [ O, l] éR e(z) = e n e(z) .
Ainsi, dans tous les cas on a sup t E[O,l] e tn e(z) � el n e(z) I. Comme pour
z E
.
D(O, 1), on a I Re (z)I � lz l � 1, on en déduit que 1 exp (z) - li � e lz l .
SOLUTION DE L'EXERCICE 5.6
Nous avons établi à l'exercice 5.4 que la série entière L n \-;:,}]�' ( �) 2 n a pour
rayon de convergence R = +oo et par conséquent que la fonction de Bessel J 0
est définie sur Pour tout z E ap = 4�. -(�!;2 si p est pair avec p = 2n, n E N. D'après le théorème 5.4, pour
tout z E indices p impairs
+oo
+oo
+oo
indices p pairs
J�(z)
L(P + I)ap +l zP = L (2n + 1) a 2n+l z 2 n + L(2n + 2)a 2 n+ 2 z 2 n+l
p=O
n =O
'--v- -'
n =O
=0
+oo
+oo
( l) n+l
"""" c 2 2)
2 n+1 - """" c 2 2)
-
2 n+1
� n + a 2 n+ 2 z - � n + 4 n+l ((n + l)!) 2 z
� (-l) n+l ( � )2n+l
n=O n! x ( n + 1) ! 2
On en déduit que pour tout z E ,
+oo (- 1 r ( z ) 2 n+1
J o (z) = - � n! x (n + 1)! 2
·
<39> Voir le théorème 4.2 p. 201.