Séries entières
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SOLUTION DE L'EXERCICE 5.3
1 - Pour n E N*, posons an = ch(n)/n ; en utilisant la formule de trigonométrie
hyp erbolique ch(n + 1) = ch(n) ch(l) + sh(l) sh(n), on obtient
lan+l l =
ch(n + l) - . _ n _ = (ch(l) + th(n) sh(l)) _
n
__
lan l
ch(n) n + 1
n + 1
On a limn->+oo th(n) = 1 d'où limn->+oo lan+1l/lan l = ch(l) + sh(l) = e. Le
rayon de convergence de la série entière En�l � ch(n) z n est donc R = 1/e.
2 - Pour n EN avec n � 2, posons an = ln(n) ; on a
lan+1 I =
ln(n + 1)
=
ln(n) + ln(l + 1/n)
= 1 +
ln(l + 1/n) .
lanl
ln(n)
ln(n)
ln(n)
Or, ln(l + 1/n) "' 1/n et limn->+oo - 1
1
(
) = 0 donc limn->+oo lan+il / lan l = 1.
+oo
n n n
Le rayon de convergence de la série entière En�2 ln(n) z n est donc R = 1.
3 - Pour n E N*, posons an = (for ; on a
Comme limn_,+00 (1 + �r = e, on en déduit que limn->+oo (1 + �) � = Ve
puis que limn_,+00 lan+il/lan l = +oo. Ainsi cas) , le rayon de convergence de la
série entière En�l ( y'n) n z n est R = O.
SOLUTION DE L'EXERCICE 5.4
La série En \��j; ( �) 2n est une série entière lacunaire. Appliquons le critère
de D'Alembert pour les séries numériques à la série En \-;.W ( �) 2n pour z fixé
dans C. En notant U n = 1��5; (�) 2n
, on obtient pour tout n EN:
On a limn_,+ 00 ' ï::1 i l = 0 donc la série numérique complexe En U n converge absolument quel que soit z E C. On en déduit que la série entière En
1�U�n (�) 2n
converge absolument sur C. Son rayon de convergence est R = +oo. La fonction
de Bessel d'ordre 0, qui est la somme de cette série, est donc définie sur C.
��
.
On peut également obtenir ce résultat en remarquant que pour tout z E c• on
a limn-+oo l .fii n znl = limn-+oo(.fii lzl) n = +oo de sorte que la série numérique
L:
n
;;. i h/nlzlr diverge grossièrement. Comme une série entière converge absolument sur
son disque de convergence, on peut affirmer que R = O.