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Dérivabilité d'une fonction de la variable complexe
Étudions la limite du second terme du membre de droite. On a,
1.
f (zo) g(zo) - g(z)
nn ---- ---- -
z-->zo g(z )g(zo) zo - z
1.
f(zo)
1.
g(zo) - g(z)
nn
x un ---- -
z-+zo g(z)g(zo) z-+zo zo - z
f(zo) '()
g(zo) 2 g zo
car 1/ g est continue en zo. On obtient finalement :
[_ (z) - [_ (zo)
lim 9
9 = - 1- J'(zo) - f (zo) g'(zo)
z-+zo
z - zo
g(zo)
g(zo) 2
f ' (zo) g(zo) - f(zo) g'(zo)
g(zo) 2
La relation est démontrée.
Exemples
D
1. On a démontré précédemment que l'application z E sur par récurrence que pour tout entier n avec n � 2, l'application z E holomorphe sur quatrième assertion de la proposition 4.15 permettent alors d'en déduire que
toute fonction polynomiale associée à un polynôme de sur 2. La cinquième des assertions permet d'établir qu'une fonction rationnelle <2 3 >
de rationnelle.
La proposition suivante que nous admettrons indique que la composée de deux
fonctions holomorphes est holomorphe.
PROPOSITION 4.16 Soient U un ouvert non vide de U dans dans l'application composée go f est holomorphe en z0 et
(g o f)'(zo) = J'(zo) x g'(f(zo)).
On a également le résultat suivant.
<2 3 > Voir le chap. 7 du Coul's de première année.