Fonctions complexes de la variable complexe
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PROPOSITION 4.15 Soient U un ouvert non vide de et g deux applications de U dans (resp . sur U) alors,
X f + g est holomorphe en zo (resp. sur U) et
(! + g)'(zo) = J'(zo) + g'(zo);
X la fo nction À· f est holomorphe en zo (resp . sur U) et
(>-. · J)'(zo) =À J'(zo);
X f x g est holomorphe en zo (resp . sur U) et
(! x g)'(zo) = J'(zo) g(zo) + f(zo) g'(zo);
X si de plus g(zo) =/:- 0 (resp . g ne s'annule pas sur U ), alors
[_ est holomorphe
g
en zo (resp. sur U) et
( [_ ) ' (zo) = f'(zo) g(zo) - f(zo) g'(zo) .
g
g(zo) 2
Démonstration Ces relations se démontrent à partir de la définition 4.13 en
utilisant les propriétés des limites. Démontrons la dernière relation ; les autres
vérifications, plus simples, sont laissées en exercice. On a d'après la définition 4.13,
Or,
[_ (z) - [_ (zo)
g
g
z - zo
=
1
[_ (z) - [_ (zo)
( [_ ) (zo) = lim g g
g
z-+zo z - zo
1 g(zo)f(z) - g(z)f(zo)
z - zo
g(z)g(zo)
1 g(zo)(f(z) - f(zo)) + f(zo)(g(zo) - g(z))
z - zo
g(z)g(zo)
1 f(z) - f(zo) f(zo) g(zo) - g(z)
g(z) z - zo
g(z)g(zo) zo - z
Étudions la limite du premier terme du membre de droite. Comme g est holomorphe en zo, g est continue en zo et puisque g(zo) =/:- 0, l'application 1/g est
continue en zo (voir la proposition 4.10, p. 191). On a donc,
lim
_ 1 _ f(z) - f(zo) = lim
_
1
_
x lim f(z) - f(zo) = _ 1 _ J'(zo).
z -> zo g(z) z - zo
z->zo g(z) z-+zo z - zo
g(zo)