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Continuité d'une fonction de la variable complexe
PROPOSITION 4.11 Soient U un ouvert non vide de de U dans dans (resp . sur U) alors go f est continue en z0 (resp . sur U ).
Exemples
1. Les applications z E étant continues sur si f est une application continue en zo E Re(f(z)), z E en zo.
2. Montrons que la fonction Arg qui à un complexe non nul associe son argument
principal est continue en zo = 1. Pour tout h E B(O, 1) on a
Arg(l + h) E] - �' � [ et Arg(l + h) = arctan ( 1 !�:lh ) ) ·
Comme les fonctions Re et Im sont continues en 0 avec Re(O) = 0 et Im(O) = 0,
on en déduit que limi.�a Arg(l + h) = O. Finalement, comme Arg(l) = 0 on
hEC
peut en conclure que Arg est continue en 1.
3. Pour montrer que la fonction Arg n'est pas continue en z0 = -1, on peut
considérer l'arc paramétré zo = On peut sur le même principe vérifier que la fonction Arg n'est continue en
aucun complexe zo E {z E 4. Montrons à présent que la fonction Arg est continue sur l'ensemble
Arg(zo) E] - tr, tr] et que Arg est continue en 1, on peut trouver un voisinage V
de l'origine tel que pour tout h E V,
Arg ( zo
z :
h ) +Arg(zo) E]-tr, tr] et Arg ( zo
z :
h ) +Arg(zo) = Arg(zo+h).
On en déduit que
lim ( Arg(zo + h) - Arg(zo)) = lim Arg ((zo + h)/zo) = 0
1i-o
1i-o
car lin11.�a(z0 + h)/zo = 1 et Arg est continue en 1 avec Arg(l) =O. On en
hEC
conclut que Arg est continue en tout z0 E c + .
On a également le résultat suivant concernant la continuité de la composée
d'applications continues.