Fonctions complexes de la variable complexe
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On a le résultat suivant qui est un corollaire de la proposition 4.4. Il est surtout
utile pour montrer qu'une application n'est pas continue en un point.
PROPOSITION 4.9 Soient U un ouvert non vide de C, f une application
de U dans C et zo un élément de U. L'application f est continue en zo si et
seulement si pour toute suite (un)n d'éléments de U convergeant vers zo, la
suite de terme général f(un) converge vers f(zo).
4.5.2 Opérations algébriques sur les applications continues
La proposition suivant découle de la proposition 4.5.
PROPOSITION 4.10 Soient U un ouvert non vide de C, À un complexe et f
et g deux applications de U dans C. Si f et g sont continues en zo E U (resp.
sur U) alors :
1. lf / est continue en zo (resp. sur U);
2. f + g est continue en zo (resp. sur U);
3. f x g est continue en zo (resp . sur U);
4. À· f est continue en zo (resp. sur U);
5. si de plus g( zo) =/:- 0 (resp. g ne s'annule pas sur U) alors f / g est continue
en zo (resp . sur U ).
Exemples
1. On a démontré précédemment que l'application identité z E C f---> z était
continue sur C. En utilisant la troisième assertion de la proposition 4.10, on
peut montrer par récurrence que pour tout entier n avec n � 2, l'application
z E C f---> z n est continue sur C. La troisième et la quatrième assertion de la
proposition 4.10 permettent alors d'en déduire que toute fonction polynomiale
associée à un polynôme de C[X] est continue sur C.
2. La cinquième des assertions permet d'établir qu'une fonction rationnelle <22>
de C(X) est continue en tout complexe qui n'est pas un pôle de la fraction
rationnelle.
3. L'application z E C* f---> z 2 //z/ est continue sur C* car les deux applications
f : z E Cf---> z 2 et g : z E Cf---> /z/ sont continues sur Cet g ne s'annule qu'en O.
Le résultat suivant concernant la composition d'applications continues résulte
de la proposition 4.6.
( 22 ) •
.,
Voir le chap. 7 du Cours de prem1ere année.