Fonctions complexes de la variable complexe
4.5 Continuité d'une fonction de la variable complexe
4.5.1 Définitions et premières propriétés
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DÉFINITION 4.11 Soient U un ouvert non vide de C, f une application de U
dans C et zo un élément de U.
J< On dit que f est continue en zo si f admet pour limite f (z0) en zo, i.e. si :
Vê E JR� 377 E IR� Vz EU (lz - zol :( 77 ==? lf(z) - f(zo)I :( ê) . ( 7 )
)( On dit que f est continue sur U si f est continue en zo pour tout zo E U.
On note C 0 ( U, q l'ensemble des applications de U dans C continues sur U.
Exemples
1. Toute application f constante sur C est continue sur C puisque pour tous
complexes z et zo, on a lf(z) - f(zo)I = 0 :(€ pour tout€ E R+.
2. L'application identité est continue sur C puisque pour tous z0 E Cet€ E JR+,
il existe 77 E JR+ (par exemple la valeur 77 =€ convient) tel que pour tout z E C
tel que iz - zo l :( 77 on ait lf(z) - f(zo)I = iz - zo l = 77 :( €.
3. Montrons que l'application f : z E C f-t z 2 est continue sur C. Pour tous
complexes z et zo, on a
lf(z) - f(zo) I = lz 2 - z 3 1 = iz - zo l x lz + zo l ·
Comme lz + zo l :( 2lzo l + lz + zo l , pour que la condition lz - zo l :( 77 implique
que lf(z) - f(zo)I :( € pour tout € E JR+, il suffit de choisir 77 E JR+ tel que
77(2lzol + 77) :(€ c'est-à-dire 77 :( J lzo l 2 + € - izo l ·
4. Les applications z E C f-t Re(z), z E C f-t Im(z), z E C f-t lzl et z E C f-t z
sont continues sur C, voir l'exercice 4.2.
DÉFINITION 4.12 {Prolongement par continuité)
Soient U un ouvert non vide de C, zo un élément de U et f une application
de U\ {zo} da !! s C continue. Si f admet pour limite en zo le complexe f, alors
l'application f définie sy,r U par
si z EU\ {zo}
si z = zo
est une application continue sur U appelée prolongement par continuité de
l'app lication f en zo .