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Limite d'une fonction de la variable complexe
Démonstration Supposons que f admette pour limite wo en zo, i.e. que
'ïlc 1 E iR+ 37] 1 E iR+ 'ïlz EU (l z - zo l � 7] 1 ===? lf(z) -wo l � c 1) . (4)
et supposons que 9 admette pour limite f en wo , i.e. que
Pour montrer que 9 of admet pour limite f en zo, il faut montrer que
Soit c un réel strictement positif fixé, z un élément de U et w = f(z) un
élément de V. D'après (5) considérée avec c 2 = c, il existe 7] 2 E iR+ tel que
si l
w -wo l = lf(z) -wo l � 7] 2 alors l
9( w) - f i = l
9(f(z)) - f i � c. D'après
l'assertion (4) considérée avec c1 = 7] 2 , il existe 7] 1 E iR+ tel que si lz - zo l � 7]1
alors lf(z) -wo l � 7] 2 . On en déduit que si z EU est tel que lz - zo l � 7] 1 alors
l
9(f(z)) - fi � c. L'assertion (6) est démontrée.
0
Il a été établi à l'exercice 4.2 que
l . l'application 91 : z E C r-t Re(z) admet pour limite en fle complexe Re(f) ;
2. l'application 9 2 : z E C f-t Im(z) admet pour limite en fle complexe Im(f) ;
3. l'application 93 : z E C r-t z admet pour limite en fle complexe l;
4. l'application 9 4 : z E C r-t lzl admet pour limite en fle complexe lfl .
On déduit donc de la proposition 4.6 le résultat suivant.
COROLLAIRE 4.1 Soient U un ouvert de C, zo un point adhérent à U et f
une application de U dans C admettant pour limite en zo le complexe f. On
a les propriétés suivantes :
1. lim Re(f(z)) = Re(f) ;
z�zo
2. lim Im(f(z)) = Im(f) ;
z-+zo
3. lim f ( z) = e ;
Z--+ZQ
4. lim lf(z)I = lfl .
z-+zo