Séries de fonctions
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Exercice 3.3 Montrer que la série d'applications L n fn de terme général
fn : x E IR� 1--- -+ ne- n x converge normalement sur [y, +oo[ pour tout réel
a> 0 mais ne converge pas normalement sur JO, +oo[.
PROPOSITION 3.8 Soit (fn)n une suite d'applications de X dans lR. Une
condition nécessaire et suffisante pour que la série de fo nctions L n f n converge
normalement sur X est qu 'il existe une suite numérique ( vn)n telle que
1. pour tout n EN on ait sup /fn(x)/ :::: :; Vn ;
xEX
2. la série numérique L n Vn converge.
Démonstration La série numérique L n Un dont le terme général est
Un = sup xEX /fn(x)/ est une série à termes positifs qui vérifie Un :::: :; Vn pour
tout n E N. D'après le théorème 1.2 p. 14, la convergence de la série numérique
L n Vn entraîne la convergence de la série numérique L n Un.
D
Exemple Considérons la sene d'applications dont le terme général est
fn : x E]l, +00[1--- -+ (n 2 x + (-l) n ) - 1 . Pour tout n EN et pour tout x E]l, +oo[
on a : n 2 x + (-l) n � n 2 x - 1 � n 2 - 1. On en déduit que pour tout entier
n�2
sup /fn(x)/ = sup
1 2
1
1
:::: :; - 2
-
1
-.
xE]l,+oo[
xE] l,+oo[ n X+ (-l) n
n - 1
Comme n 21_ 1 +
� � et que la série de Riemann L n � converge, la série L n n
L
l
converge. On en conclut que la série Ln fn converge normalement sur ]1, +oo[.
THÉORÈME 3.3 Si la série d'applications L n fn de X dans lR converge normalement sur X alors elle converge uniformément sur X.
Démonstration Soit (f n)n une suite d'applications de X dans lR telle que
la série L n fn converge normalement sur X. Pour montrer que la série L n fn
converge uniformément sur X, nous allons montrer que L n fn vérifie le critère
de Cauchy uniforme donné par le théorème 3.2.
Soient m et n deux entiers naturels tels que n � m. On a
Par hypothèse, la série d'applications L n fn converge normalement sur X, ce
qui signifie que la série numérique L n Un de terme général Un = sup xEX /fn(x)/