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Critères de convergence uniforme
Exemples
1. Considérons la série d'applications I: n>- l f n dont le terme général est
fn : x E lR f-+ cos(nx)/n2 • Comme la fonction cosinus est bornée par 1, pour
tout n E N*, on a
Un = sup I � cos(nx) I = � sup lcos(nx)I � �·
x El!t n
n x EIR
n
Puisque la série I: n>- l 1/n2 converge, il résulte des critères de comparaison
pour les séries numér�ques à termes positifs
< 7 J
que la série I: n Un converge. On
en conclut que la série d'applications I: n f n converge normalement sur R
Plus généralement, on peut remarquer que les séries d'applications I: n f n de
terme général fn : X E lR f-+ O:n cos(nx) et fn : X E lR f-+ O:n sin(nx), où (a:n)n
est une suite numérique réelle, convergent normalement sur lR si et seulement
si la série I: n a:n est absolument convergente. Ces séries sont appelée séries
trigonométriques.
2. Pour r E IR:f_ , intéressons-nous à la série d'applications I: n fn dont le terme
général est f n : x E [-r, r] f-+ x n . Pour tout n E N, on a
-
1
n
i_
n
Un - sup x - r .
xE [-r,r]
La série géométrique I: n r n de raison r converge si et seulement si r < 1. On
en déduit que la série d'applications I: n x n converge normalement sur [-r, r]
si et seulement si r E]O, 1[. Cette série ne converge donc pas normalement sur
[-2, 2] , sur [- 1, 1) ou sur lR par exemple.
3. Pour r E IR:f- fixé, la série d'applications L: n f n dont le terme général est
fn : x E [ - r, r] f-+ x n
/n! converge normalement sur [-r, r] car
lx
n
1 r n
Un = sup - = -
xE[ -r,r] n!
n!
et la sene numenque I: n r
n
/n! converge, voir p. 5. Par contre, comme
limn--. + CXJ fn(x) = +oo, l'application fn n'est pas bornée sur lR et la série d'applications I: n fn ne converge donc pas normalement sur IR. Rappelons que l'on
a établi que la série I: n f n converge simplement et absolument sur R
4. Nous avons vu que la série d'applications I: n f n de terme général
fn : x E [O, 1) f-+ ( -� ) n x
n
converge simplement et uniformément sur [O, 1].
Toutefois, pour n E N* on a Un = sup x E [ O , l ] lfn(x)I = 1/n et comme la série
harmonique I: n 1/n diverge, il n'y a pas convergence normale de la série I: n f n
sur [O, 1] (pas plus que sur JO, 1[) .
(7) Voir la proposition 1.2 p. 14. Signalons que l'on peut déterminer l'expression de Un
en remarquant que Un = SUPxeR l/n (x)I � fn (27r/n) = 1/n2 . Comme par ailleurs
Un� l/n2, on en déduit que que Un =�·