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Convergence d'une série de fonctions
sur Dn =] - 2 n - 1 7r, 2 n - 1 rr[. La série de fonctions L m fn ne peut être étudiée
que sur X= nn E N Dn =] - � ' H
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On peut associer à une suite d'applications Un)n, sa suite des sommes partielles
(n)n dont le terme général est n = L � =O f k , ce qui permet de définir la série
L n fn · Inversement, à une suite d'applications (n)n on peut associer une
suite d'applications Un )n, et par conséquent une série d'applications L n f n,
dont (n)n est la suite des sommes partielles de la manière suivante :
on pose fo = o et pour tout n EN* fn = On peut par ce procédé appliquer aux séries d'applications la plupart des résultats du chapitre précédent consacré aux suites d'applications. On peut en
particulier définir la notion de convergence d'une série d'applications et celle
de somme d'une série d'applications.
DÉFINITION 3.2 (Convergence simple)
X On dit que la série d'applications L n f n de X dans lR converge simplement
sur X si la suite d'applications (n)n de terme général simplement sur X.
X On appelle alors somme de la série d'applications L n fn la limite

suite d'applications ( +oo
(x) = L fn (x).
n=O
Si la série d'applications L n fn de X dans � converge simplement sur X vers
l'application de X dans � ' alors pour tous x E X et n E N on a
+oo
n
+oo
+oo
k =O
k =O
k =n+l
k =n +l
On déduit donc de la définition 3.2 la proposition suivante.
PROPOSITION 3.1 Un e condition nécessaire et suffisante pour que la série
d'applications L n fn de X dans lR converge simplement sur X est que la suite
d'applications (Pn)n de terme général Pn = L
t
� +l f k converge sur X vers
l'application nulle.
D'après la définition 2.1 p. 71, la suite d'applications ( n = L � =O f k converge simplement vers sur X si pour tout x E X la suite
numérique réelle ((x). Or, la suite numérique réelle
( série numérique réelle L n f n(x). On peut ainsi également relier les propriétés

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