CHAPITRE 3
Séries de fo nctions
Dans le chapitre précédent nous avons mené l'étude des suites de fonctions. De
même que nous avons introduit dans le chapitre 1 la notion de série numérique à
partir de celle de suite numérique, nous allons dans ce chapitre utiliser les suites
de fonctions pour définir la notion de série de fonctions. Nous nous limitons dans
ce chapitre aux séries de fonctions réelles d'une variable réelle. Nous aborderons
la notion de séries de fonctions complexes d'une variable complexe dans le
chapitre suivant.
3.1 Convergence d'une série de fonctions
On désigne par X un sous-ensemble non vide de JR., par A(X, JR.) l'ensemble des
applications de X dans lR. et par S ( X, JR.) l'ensemble des suites d'applications
de X dans JR..
3.1.1 Définitions
DÉFINITION 3.1 Soient Un )n une suite d'applications de X dans lR. et (c/>n)n
la suite d'applications de terme général c/Jn = I:: � =O f k ·
On appelle série d'applications de X dans lR. de terme général f n et on note
I:: n fn , le couple ((fn)n, (c/Jn)n) d'éléments de S (X, JR.) X S (X, JR.).
On note l:(X, JR.) l'ensemble des séries d'applications de X dans R
Remarques
1. On confond très souvent du point de vue terminologique série de fo nctions
avec série d'applications. Nous utiliserons le terme « série d'applications »
lorsqµe les termes de la série seront définis sur un même ensemble qui sera
précisé. Le terme « série de fonctions » sera utilisé comme terme générique.
Ainsi, on parlera de la série de fonctions de terme général fn : x r-t ln (x - �)
et de la série d'applications de terme général fn : x E] l, +oo[r-t ln (x - �).
2. L'ensemble X sur lequel est considérée la série I:: n f n doit correspondre à
un ensemble sur lequel toutes les fonctions f n sont définies. Par exemple, pour
tout n E N*, la fonction f n : x r-t 21n tan ( 2xn ) est 2 n - l
7r périodique et définie