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Solutions des exercices
Soit c un réel strictement positif fixé ; pour tout n E N on a :
l fn (Xn) - f(x) I ::::; ; l fn (Xn) - fn (x) I + l fn (x) - f(x) I .
Par hypothèse, la suite Un )n converge uniformément vers f sur I ce qui im•
( 3 2)
phque que
3N 1 EN 'in EN 'fy E I (n ;;:: N i ==> l fn ( Y ) - f(y) I ::::; ; �c).
(21)
Par ailleurs, les applications f n sont continues sur I donc en x. On a donc
1
!hl l'
.
.
( 33 )
éga ement, pour tout n E ,� , assertion smvante :
377 E lR� 'fy E I (lx - YI ::::; ; 1] ==> l fn ( Y ) - f n (x) I ::::; ; �c).
(22)
Enfin, la convergence de la suite (xn)n vers x implique que <3 4 > :
(23)
On déduit de (23) que pour n ;;:: N 2 on a l xn -xi ::::; ; 17 ce qui entraîne d'après (22)
que l fn (xn) - fn (x) I ::::; ; �c. En combinant cette majoration avec (21), on en
déduit que pour n ;;:: N où N = max{N 1 , N 2 } on a l f n (xn) -f(x) I ::::; ; �c+�c = c
et l'assertion (20) est démontrée.
SOLUTION DE L'EXERCICE 2. 7
1 - Pour tout x E JR* fixé, on a
2
x2 x 4
n 2
1
1
e x / n = 1+ - + -
2 2
+o +oo (n -2 ) et - 2 -- = -- 1 = l-2 +0+ 00 (n -2 ) .
n n
n +l l+ ;;:r
n
On en déduit que :
2 1 ( x 4 ) (
_ 1 )
fn (x)=x + ; 2 + 1 +o +oo n .
On a donc limn .... . +oo f n ( x) = x 2 . Par ailleurs, pour x = 0 et n E N* , on a
( n 2 ) n
f n (O) = n 1 - n2 + 1
= n2 + 1
(24)
d'où limn .... . +oo f n (O) =O. On en conclut que la suite Un )n converge simplement
vers l'application f : x E lR r-+ x2.
2 - a) Pour montrer que Un )n converge uniformément sur tout intervalle de la
forme [-a, a] avec a E lR't-, il faut montrer que la suite numérique de terme
général Un= sup x E l - a: , a: J l fn (x) - f (x) I converge vers O . .
<3 2 l Voir la définition 2.2 p. 73, considérée ici avec E: = �E:.
<33 l Voir la définition 13.4 p. 588 du Cours de première année.
<3 4l Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année.