Suites de fonctions
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Comme 'l/Jn n'est pas bornée sur V, on a sup x E 'D lfn (x) - f(x)I = +oo et par
conséquent la suite Un)n ne converge pas uniformément sur V.
La suite de fonctions Un)n E N* convergera uniformément sur ] - �, +oo[ vers la
fonction nulle f si la suite numérique réelle ( vn)n de terme général
Vn = sup lfn (x) - f(x)I = sup l'l/Jn(x)I =max ( IIn(l - �)I , ln(l+�))
xEJ-!, +oo (
xEJ-!, +oo (
converge vers O. Comme limn -+ + oo !In(l - �) 1 = limn-++oo ln(l + �) = 0, la
suite (vn)n converge vers 0 et par conséquent la suite Un)n converge uniformément sur ] - �, +oo(. Même s'il n'a pas été utile de déterminer l'expression
de Vn, on peut remarquer que
l ln(l-�) l = l- ln ( n '.: i )l= ln ( n '.: i ) et ln(l+�) =ln(�)
ce qui permet d'établir que Vn = ln ( n '.: 1 ) car � < n '.: 1 et la fonction
logarithme est croissante.
On peut aisément représenter graphiquement le comportement de la suite Un)n
avec MAPLE :
> fn:= (n,x)->(-1)**n*log(1+x/(n*(1+x))):
> plot([fn(1,x),fn(2,x),fn(3,x),fn(4,x)], x=-1 .. 5);
4
-1
-2
-4
SOLUTION DE L'EXERCICE 2.6
•
( 31 )
Pour montrer que hmn-++oo f n (Xn ) = f(x), montrons que
V ê E �� 3N EN \fn EN (n ;?: N ===} lfn (xn) - f(x)I � ê ).
(20)
( 31> Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année.