Chapitre IX • Convergence faible et...
2 SOLUTIONS
Exercice IX.1
(1) Un point extrême a d’un convexe fermé M (D 9.4) est défini par : si a ∈ [y, z], segment inclus dans M, alors y = a ou z = a. Une caractérisation évidente, mais commode
de ces points extrêmes est : a ± u ∈ M =⇒ u = 0.
(i) Par le schéma de la boule unité fermée B 2 dans l’espace réel, cette boule est
un losange, on peut imaginer le résultat et le procédé de la preuve.
(0,1)
(0,-1)
(1,0)
(-1,0)
a + u
a + u
a-u
a-u
a
a
0
x 2
B 2
x 1
+
+
+
+
+
+
Sur le schéma ci-dessus sont notés deux systèmes (a − u, a, a + u).
On est attentif aux différentes catégories de points de B 2 ; elles sont étudiées ci-dessous.
(i) Si a < 1, soit u = re 1 , r ∈]0, 1[ tel que a + r ≤ 1. On a u 0,
a ± u ≤ ≤a + r ≤ 1 donc a ± u ∈ B 2 , et a n’est pas un point extrême de B 2 .
(ii) Si a = 1, alors
a = a 1 e 1 + a 2 e 2 , avec a 1 = r 1 exp(iθ 1 ), a 2 = r 2 exp(iθ 2 ), r 1 ≥ 0, r 2 ≥ 0, r 1 + r 2 = 1.
Supposons r 1 r 2 > 0, et choisissons
u = r(e
iθ 1 e 1 − e
iθ 2 e 2 ), avec 0 < r ≤ min(r 1 , r 2 ).
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