Chapitre VI • Opérateurs continus entre espaces de Hilbert
Exercice VI.6
(1) (i) Il s’agit simplement de l’inégalité de Cauchy-Schwarz P 5.4 pour la forme
sesquilinéaire ϕ définie par ϕ(x, y) = Bx, y, dont la forme hermitienne associée
Φ(x) = ϕ(x, x) = Bx, x
est positive par hypothèse.
(ii) Choisissons y = Bx dans (VI.1) ; on obtient
Bx
4
≤ ≤Bx, xB
2 x, Bx ≤ ≤Bx, xB
2 x Bx ≤ ≤Bx, xB Bx
2
.
Ceci fournit la relation (VI.2).
(iii) Posons C = BI − B. Nous voyons que x = 1 entraîne
Cx, x = (BI − B)x, x = B x
2
− −Bx, x = B − −Bx, x ≥ 0.
C est donc positif.
Puisque B = sup{{Bx, x ; x = 1} (cf. Ex. VI.5 (2)), il existe une suite normée
(y n ) n∈N ∗ telle que B = lim n→∞ By n , y n , soit lim n→∞ Cy n , y n = 0. En appliquant
(VI.2), on obtient
lim
n→∞
Cy n = 0.
(VI.6)
Il reste à montrer que 0 ∈ σ(C). Or, C inversible entraînerait
1 = y n = C
−1 (Cy n ) ≤ ≤C
−1
Cy n ,
ce qui contredit (VI.6) ; on a bien 0 ∈ σ(C).
(2) (i) Les définitions de a et b entraînent b − A ≥ 0 et A − a ≥ 0. On a aussi
b − A = sup{||(b − A)x, x| ; x = 1} = b − a.
(VI.7)
et A − a = sup{||(A − a)x, x| ; x = 1} = b − a.
(VI.8)
Avec les notations de (VI.1), si B = b − A, C = a − A, alors 0 ∈ σ(a − A).
De même, si B = A − a, C = b − A, alors 0 ∈ σ(A − b).
Par application de l’Ex. IV.6, on obtient a ∈ σ(A) et b ∈ σ(A).
(ii) b − A ≥ 0, donc σ(b − A) ⊆ R
+ (cf. Ex. VI.1), et en appliquant (5),
σ(b − A) ⊆ [0, b − a] ; on obtient bien
σ(A) ⊆ [a, b].
(3) A ≥ 0, B ≥ 0 et AB = BA. Si A = 0, le résultat est évident. Supposons que A 0.
Considérons la suite d’opérateurs définie par
A 1 = A
−1 A, A n+1 = A n − A
2
n , n = 1, 2, . . .
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