2. Solutions
Exercice VI.5
Pour tous x, y ∈ H \ {0}, on a
||T x, y|
x y
≤
T x y
x y
≤ ≤T .
D’où sup W(T ) ≤ ≤T .
D’autre part, en faisant y = T x, x 0, on voit que
||T x, T x|
x T x
=
T x
2
x T x
=
T x
x
.
Cela donne T ≤ sup W(T ), et finalement T = sup W(T ).
(2) (a) Nous avons évidemment w(T ) ≤ W(T ) = T . Montrons l’autre inégalité. Soit
x, y ∈ H de norme un. Alors :
2[T x, y + T y, x] = T (x + y), x + y − −T (x − y), x − y ;
2||T x, y + T y, x| ≤ w(T )(x + y
2
+ x − y
2 ) = 2w(T )(x
2
+ y
2 ) = 4w(T ).
En prenant y =
T x
T x et en remplacant T par λT avec |λ| = 1, on obtient
T x + T x
−1
λ
2
T
2 x, x
≤ 2w(T ).
Si T
2 x, x = ||T
2 x, x| exp(iθ), on choisit alors λ = exp(−i
θ
2 ), ce qui donne après multiplication par T x :
x = 1 =⇒ ⇒T x
2
+ ||T
2 x, x| ≤ 2w(T )T x.
(VI.5)
Ceci implique en particulier que x = 1 =⇒ ⇒T x ≤ 2w(T ). D’où l’inégalité
T ≤ 2w(T ), comme demandé.
(b) Les inégalités (VI.5) et 2ab ≤ a
2
+ b
2 si a, b ≥ 0 nous donnent, si x = 1 :
||T
2 x, x ≤ 2w(T )T x − −T x
2
≤ w(T )
2
,
d’où en passant au sup sur les x de norme 1 : w(T
2 ) ≤ w(T )
2 .
(On peut montrer (Halmos) que l’on a en fait w(T
n ) ≤ w(T )
n pour n entier ≥ 1, mais
la preuve est plus difficile, et le résultat ne nous servira pas ici. Il est aussi à noter que
l’inégalité w(AB) ≤ w(A)w(B) est fausse en général, même si A et B commutent, cf.
Halmos.)
(c) Puisque A est normal, on a pour n ≥ 1, en itérant (b) :
A
2
n = (A
∗ A
2
n )
1/2
= (A
∗ A)
2
n
1/2
= (A
∗ )
2
n A
2
n
1/2
= A
2
n
≤ 2w(A
2
n ) ≤ 2w(A)
2
n .
D’où, A ≤ 2
1
2 n
w(A).
En faisant tendre n vers l’infini, on obtient A ≤ w(A).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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