2. Solutions
Soit alors K un compact de Ω. Il existe r > 0 tel que K ⊂ {z ; d(z, Ω
c ) > r} et l’inégalité
précédente montre que ( f n ) n∈N ∗ vérifie le critère de Cauchy de convergence uniforme
sur K, donc converge uniformément sur K. D’après le théorème de Weierstrass, il existe
f ∈ H(Ω) telle que f n → f uniformément sur tout compact de Ω, a fortiori simplement
sur Ω. Reste à montrer deux choses :
1. f ∈ H Ω .
Pour chaque ε > 0, il existe un entier N(ε) tel que
p, q ≥ N(ε) =⇒
Ω
| f p (w) − f q (w)|
2 dλ(w) ≤ ε
2
.
Laissons p ≥ N(ε) fixe dans cette inégalité, faisons tendre q vers +∞ et utilisons
ce qui précède et le lemme de Fatou pour obtenir :
Ω
| f p (w) − f (w)|
2 dλ(w) ≤ lim q→∞
Ω
| f p (w) − f q (w)|
2 dλ(w) ≤ ε
2
.
Cela montre que f p − f ∈ H Ω , qui est un espace vectoriel, et donc que f ∈ H Ω .
2. f n → f dans H Ω .
Maintenant qu’on sait que f ∈ H Ω , l’inégalité précédente se lit :
p ≥ N(ε) =⇒ ⇒ f p − f 2 ≤ ε.
Ceci achève la démonstration.
(4) (i) δ z linéaire et continue.
δ z est évidemment linéaire. Si r > 0 est tel que B(z, r) ⊂ Ω, alors d’après (2),
|δ z ( f )| = | f (z)| ≤
1
r
√
π
f 2 , donc δ z est continue et sa norme est majorée par
1
r
√
π
.
(ii) Existence de K z .
Le théorème de Riesz (P 5.7) identifie toute forme linéaire continue sur un espace de
Hilbert à un produit scalaire. Il existe donc K z ∈ H Ω (unique) telle que
Pour toute f ∈ H Ω , f (z) = f, K z =
Ω
f K z dλ.
(V.14)
(5) (i) Il s’agit de comparer K z (w) et K w (z) en utilisant l’équation (V.14). Or, sousentendant l’indice Ω, nous avons la symétrie hermitienne :
K(w, z) = K z (w) = K z , K w = K w , K z = K w (z) = K(z, w).
(ii) identifions, pour z ∈ Ω fixé, K z par son écriture comme élément de H Ω sur
la base orthonormée (e n ). Nous savons que K z =
+∞
n=0 K z , e n e n , et il n’y a plus qu’à
remarquer que
K z , e n = e n , K z = e n (z).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
119
Soit alors K un compact de Ω. Il existe r > 0 tel que K ⊂ {z ; d(z, Ω
c ) > r} et l’inégalité
précédente montre que ( f n ) n∈N ∗ vérifie le critère de Cauchy de convergence uniforme
sur K, donc converge uniformément sur K. D’après le théorème de Weierstrass, il existe
f ∈ H(Ω) telle que f n → f uniformément sur tout compact de Ω, a fortiori simplement
sur Ω. Reste à montrer deux choses :
1. f ∈ H Ω .
Pour chaque ε > 0, il existe un entier N(ε) tel que
p, q ≥ N(ε) =⇒
Ω
| f p (w) − f q (w)|
2 dλ(w) ≤ ε
2
.
Laissons p ≥ N(ε) fixe dans cette inégalité, faisons tendre q vers +∞ et utilisons
ce qui précède et le lemme de Fatou pour obtenir :
Ω
| f p (w) − f (w)|
2 dλ(w) ≤ lim q→∞
Ω
| f p (w) − f q (w)|
2 dλ(w) ≤ ε
2
.
Cela montre que f p − f ∈ H Ω , qui est un espace vectoriel, et donc que f ∈ H Ω .
2. f n → f dans H Ω .
Maintenant qu’on sait que f ∈ H Ω , l’inégalité précédente se lit :
p ≥ N(ε) =⇒ ⇒ f p − f 2 ≤ ε.
Ceci achève la démonstration.
(4) (i) δ z linéaire et continue.
δ z est évidemment linéaire. Si r > 0 est tel que B(z, r) ⊂ Ω, alors d’après (2),
|δ z ( f )| = | f (z)| ≤
1
r
√
π
f 2 , donc δ z est continue et sa norme est majorée par
1
r
√
π
.
(ii) Existence de K z .
Le théorème de Riesz (P 5.7) identifie toute forme linéaire continue sur un espace de
Hilbert à un produit scalaire. Il existe donc K z ∈ H Ω (unique) telle que
Pour toute f ∈ H Ω , f (z) = f, K z =
Ω
f K z dλ.
(V.14)
(5) (i) Il s’agit de comparer K z (w) et K w (z) en utilisant l’équation (V.14). Or, sousentendant l’indice Ω, nous avons la symétrie hermitienne :
K(w, z) = K z (w) = K z , K w = K w , K z = K w (z) = K(z, w).
(ii) identifions, pour z ∈ Ω fixé, K z par son écriture comme élément de H Ω sur
la base orthonormée (e n ). Nous savons que K z =
+∞
n=0 K z , e n e n , et il n’y a plus qu’à
remarquer que
K z , e n = e n , K z = e n (z).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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