Chapitre V • Espace de Hilbert
En élevant au carré l’inégalité (V.13) et en faisant la moyenne sur les 2
N choix de signes
possibles, on obtient d’après l’identité du parallélogramme généralisée :
N
n=1
x n
2
≤ 4C
2
,
ce qui termine la démonstration, puisque N est arbitraire.
Exercice V.8
(1) Comme B(z, r) = {w ∈ C ; |w − z| ≤ r} ⊆ Ω, f (w) peut être écrite sous forme de
série entière en w − z dans B(z, r) : f (w) =
+∞
n=0
f
(n) (z)
n! (w − z)
n . La série est uniformément
convergente sur B(z, r).
Dans l’écriture de l’intégrale
B(z,r)
f (w)dλ(w), on peut alors utiliser cette expression de
f (w) et échanger les signes
et
. Ainsi
B(z,r)
f (w)dλ(w) =
+∞
n=0
1
n!
f
(n) (z)
B(z,r)
(w − z)
n dλ(w).
L’intégrale se calcule en coordonnées polaires :
B(z,r)
(w − z)
n dλ(w) =
2π
0
r
0
ρ
n exp(inθ)ρdρdθ
=
2π
0
exp(inθ)dθ
r
0
ρ
n+1 dρ.
L’intégrale en θ est nulle sauf pour n = 0, donc il reste le terme en f (z) qui est 2π
r
2
2 f (z).
On obtient l’égalité proposée.
(2) Soit z ∈ Ω avec d(z, Ω
c ) > r. Alors, B(z, r) ⊂ Ω et on peut appliquer
(1). Mais
B(z,r)
f dλ peut être interprétée comme produit scalaire, dans L
2 (Ω), des
fonctions f , restriction de f à B(z, r) et e 0 , fonction caractéristique de B(z, r). Ainsi
B(z,r)
f dλ
≤ ≤ f 2 e 0 2 ≤ ≤ f 2 (πr
2 )
1/2 par Cauchy-Schwarz, donc
Pour toute f ∈ H Ω , d(z, Ω
c ) > r =⇒ | f (z)| ≤
1
r
√
π
f 2 .
(3) H Ω muni du produit scalaire de L
2 (Ω) est un espace préhilbertien. Il reste à
montrer qu’il est complet.
Soit donc ( f n ) n∈N ∗ une suite de Cauchy de H Ω . Il résulte de (2) que
Pour tous p, q ∈ N
∗ et z ∈ Ω, d(z, Ω
c ) > r =⇒ | f p (z) − f q (z)| ≤
1
r
√ π
f p − f q 2 .
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