4. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR L'INTÉGRALE CURVILIGNE
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chu
{ t =a Bu= argsh(2ka)
donc dt= 2 k du, et t = b Bu= argsh( 2 kb) donc
C =
1 + sh 2 u - du = -
ch 2 u du
1
argsh(2kb) .J
chu
1 1argsh(2kb)
argsh(2ka)
2k
2k argsh(2ka)
= ~ 1argsh(2kb) 1 + ch2u du=~ [u + sh2u]argsh(2kb)
2k argsh(2ka)
2
4k
2 argsh(2ka)
1 [
]
1 [
] argsh(2kb)
= 4 k argsh(2kb) - argsh(2ka) + 4 k sh u chu
argsh(2ka)
C _ argsh(2kb) - argsh(2ka)
bJl + 4k2b2 - aJl + 4k2a2
-
ü
+
2
On a utilisé la formule de trigonométrie hyperbolique :
Vx ER, ch(argshx) = \.h + x2.
Exercice 4.10.
L
d 1 ,
, ,
d
,
{x = cos 3 t
e support e arc parametre 'Y, ont une parametrisation est
. 3
y= sm t
tE
[-7r, 7r] est inclus dans la frontière du domaine x 2 1 3 + y 2 1 3 ~ 1, puisqu'on a
(cos 3 t) 2 1 3 + (sin 3 t) 2 1 3 = cos 2 t + sin 2 t = 1.
Réciproquement, lorsque (x, y) sont tels que x 2 1 3 + y 2 1 3 = 1, on peut toujours
trouver un t E [-7r, 7r] tel que x = cos 3 t et y = sin 3 t (il suffit de prendre
x 1 1 3 = cos t et y 1 1 3 =sin t).
Le support de l'arc ' Y est donc bien la frontière du domaine dont on cherche l'aire,
et puisque dx = -3 sin t cos 2 t dt et dy = 3 cos t sin 2 t dt, on a
A = ~ i x dx - y dx
117T
= 2 _Jcos 3 t (3 cos t sin 2 t) - sin 3 t (-3 sin t cos 2 t)] dt
311T
r
= 2 -7T cos 2 t sin 2 t dt = 3 lo cos 2 t sin 2 t dt
= 3 r (sin2t) 2 dt=~ r 1 - cos4t dt
lo
2
4 lo
2
= ~ [t _ si:4tJ: = 3;