4. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR L'INTÉGRALE CURVILIGNE
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Exercice 4.8.
"
1. Longueur de la courbe : D'après les formules du cours, un tour de la boucle
étant obtenu pour t variant dans [-7!', 7r], la longueur .C de la courbe est donnée
(en unités de longueur) par :
.C = l: Jx'(t) 2 +y'(t) 2 dt= l: V(-2sint- 2sin2t)2 + (2cost-2cos2t)2 dt
= 21: v'l + 1+2sintsin2t - 2costcos2t dt= 21: J2 - 2cos(t + 2t) dt
= 41: V~(l - cos(2~)) dt= 41: Jsin 2 ~dt= 41: !sin ~I dt
.C = 8 fo7r !sin ~I dt
Attention ! sin ~ est négatif pour 2 ; ~ t ~ 7l' donc
r
2
:
3t
r sin
.C = 8 lo sin 2 dt - 8 h" 3t2 dt
3
2 [
3t]
2
:
2 [
3t] 7r 16
= 8 X - -COS- 8 X - -COS= -[(1+1) - (0 -1)]
3
2 0
3
2 2tr
3
3
.c = 16.
Remarque : en utilisant l'invariance par rotation signalée dans le corrigé de
l'exercice 2.4, on voit facilement que .C = 3.c', .c' étant la longueur de la portion de
courbe comprise entre le point correspondant au paramètre 0 et celui du paramètre
{27r/3
7;. Donc .C = 3 Jo vx'(t) 2 + y'(t) 2 dt. Cette astuce évite de «trébucher» sur
le changement du signe de sin~-