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SOLUTIONS DES EXERCICES
Deuxième méthode :
âP
âQ
-=-t
.
On remarque que ây = 1 = âx donc V est un champ de gradients ; on trouve
facilement que V = grad f avec f ( x, y) = 2x 2 + xy + y 2 et donc
Exercice 4. 7.
f ,-., V(M). dM = f(B) - f(A) = 1- 2 = -1.
}AB
Une paramétrisation de/ est
{ x = 1 +cos t t E [O 2 n] dx = - sin t dt
y = 2 + sin t
'
dy = cos t dt
On a donc
i w = i ( x 2 - y 2 ) dx + 2xy dy
A
= fo
2
7r [ ((1 + cost) 2 - (2 + sint) 2 )(-sint) + 2(1 + cost)(2 + sint) cost] dt
= fo
2
7r ( - sin t - 2 sin t cos t - cos 2 t sin t + 4 sin t + 4 sin 2 t + sin 3 t
+ 4 cos t + 2 sin t cos t + 4 cos 2 t + 2 cos 2 t sin t) dt
= fo
2
7r[3sint+4cost+4+sint(cos 2 t+sin 2 t)] dt
= 4 fo
2
7r (sin t +cos t + 1) dt
= 4 [-cos t +sin t + t J :7r
i w = 811'
Remarque : en vertu du corollaire 4.28 (p. 181), la précision de l'énoncé fixant
le point de départ (et d'arrivée) de l'arc fermé /n'est pas utile : même si on
changeait cette donnée, la valeur que l'on trouverait serait inchangée.