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INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES
y
Mais la paramétrisation { (x:y) ~ D paramètre E! (orientée vers le haut). On
a donc E+(V) = -E-(V).
1
1
âz
âz
Ici, on a âx = ây = 0 = z, donc (A,B,C) = (0,0, 1) et (P,Q,R) = (x,y,z) =
(x,y,O).
Pour le cône, puisqu'on a clairement z + 2r = 2, la paramétrisation de Et est
{
z = 2 - 2.,/ x 2 + y 2
(x,y) ED.
Les calculs se simplifieront grâce à un passage en polaires assez naturel.
La deuxième manière consiste bien sûr à utiliser la formule d'Ostrogradski. II
faudra alors passer en coordonnées cylindriques pour simplifier les calculs.
Exercice 5.31 Il est intéressant d'essayer d'imaginer à quoi correspond cette
surface orientée E. Sur les deux plans xOz et yOz (respectivement y= 0 et x = 0),
la projection orthogonale de E est le disque unité, puisque elle est formée des
points (x,z) = (u,v) (ou (y,z) = (u,v)) tels que u 2 +v 2 ~ 1. E est donc une
ellipse de l'espace, incluse dans le plan x =y médiateur de ces deux plans.
En fait, cette représentation n'est pas nécessaire, car on peut se contenter d'appliquer « bêtement » les formules.
Pour l'utilisation de Stokes-Ampère, on considère déjà que I est la circulation
d'un champ de vecteurs; il suffit alors de savoir calculer un rotationnel, et ensuite
il n'y a plus de difficulté.