5.5 EXERCICES
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Exercice 5.17. I = Jl xy ~x dy ; D = { ( x, y) E JR 2 1 x ;;::: 0 ; y ;;::: 0 ; ~ + ~ : : : : ;
1}
Les intégrales Ides exercices qui suivent (18 à 20) sont à calculer de deux manières:
directement, puis en appliquant Green-Riemann.
Exercice 5.18. I = J 7 x 3 dy - y 3 dx
'Y est le cercle de centre 0, de rayon R, orienté dans le sens trigonométrique.
Exercice 5.19.
I = f (x 2 + y 2 ) dx + (x 2 - y 2 ) dy
JaK+
pour K = { (x, y) E JR 2 1 0::::; x::::; 1 ; 0::::; y::::; 1 - x} et âK+ est le bord de K
orienté positivement.
Exercice 5.20.
I = ff
xy
dx dy
Jln (1 + x2 + y2)2
pour D = { (x, y) E JR 2 1 0::::; x::::; 1 ; 0::::; y::::; 1 ; x 2 + y 2 ;;::: 1 }·
Pour tous les exercices qui suivent (21 à 27), il s'agit de calculer l'intégrale triple
I sur le domaine D qui est en général précisé. Il peut être utile d'essayer de
représenter dans certains cas le domaine D.
Exercice 5.21.
I = {{ f 2 z 2 2 dx dy dz
JJJn x +y +z
pour D = { ( x, y, z) E JR 3 1 1 ::::; x 2 + y 2 + z 2 ::::; 2 et z ;;::: 0}.
Exercice 5.22.
I _ {{{
dx dy dz
- JJJn(l+x+y+z) 3
pour D = { (x, y, z) E JR 3 1 x;;::: 0 ; y;;::: 0 ; z;;::: 0 ; x +y+ z::::; 1 }·
Exercice 5.23.
li = J!Jn z 2 dx dy dz
I2 = Jfl x 2 +y 2 dx dy dz
} avec D qui est la boule de centre 0, de rayon a.