Avant-propos
Ce livre couvre le programme d’Analyse de deuxième année PC et PSI et poursuit
la démarche rédactionnelle entamée avec les ouvrages de première année. Comme
pour l’ensemble de la collection, le respect du programme officiel est un principe
que nous avons suivi à la lettre. Ainsi, chaque exercice et chaque rappel de cours
faisant appel à une notion qui n’est pas commune aux programmes de PC et PSI
sont signalés de façon explicite. Par ailleurs, le programme prévoit la reprise et l’approfondissement en deuxième année de certains points abordés en première année :
suites numériques, fonctions réelles d’une variable réelle, intégration sur un segment.
Nous avons mis à profit cette possibilité pour que le présent ouvrage, tout en étant
sans ambiguïté destiné aux élèves de deuxième année, présente trois chapitres utilisables en première lecture dès le deuxième semestre de première année et pour les
« révisions estivales » entre la première et la deuxième année.
Les premiers chapitres traitent des suites numériques et des fonctions réelles d’une
variable réelle. Ces notions déjà détaillées dans l’ouvrage de première année sont
complétées ici par des exercices d’oral de 2007 et par des sujets nécessitant une
maturité qu’on ne peut attendre au premier semestre de la première année. L’intégration sur un segment présente un large choix d’exemples de calculs d’intégrales
ainsi que la mise en œuvre des propriétés de l’intégrale (essentiellement les inégalités) et l’étude de fonctions définies par une intégrale. Ce chapitre permet de réviser
et d’approfondir le programme de première année tout en donnant une vue réaliste
des exercices donnés à l’oral. Dans les chapitres sur les séries numériques, séries
de fonctions, séries entières, séries de Fourier, nous insistons sur les méthodes et
non sur les solutions astucieuses. . . souvent peu reproductibles. De même dans les
chapitres concernant l’intégration sur un domaine non compact, nous avons privilégié la méthode et la comparaison des outils. Par la ressemblance de leurs conclusions (mais non de leurs conditions d’application) certains théorèmes sont source de
confusion : convergence uniforme, convergence normale, convergence dominée et
corollaire, convergence des séries entières. Exemples et contre-exemples posent des
points de repères pour éviter les confusions. Ensuite, dans la présentation des espaces
vectoriels normés, nous avons tenu compte de l’appréhension, voire du malaise, que
l’expérience nous a fait constater chez les élèves. Nous avons abordé ces notions
en les mettant en œuvre dans un contexte familier et bien maîtrisé par les élèves
(espaces de matrices et espaces de fonctions numériques continues sur un segment).
Les équations différentielles linéaires constituent un chapitre très riche qui fait appel
Ce livre couvre le programme d’Analyse de deuxième année PC et PSI et poursuit
la démarche rédactionnelle entamée avec les ouvrages de première année. Comme
pour l’ensemble de la collection, le respect du programme officiel est un principe
que nous avons suivi à la lettre. Ainsi, chaque exercice et chaque rappel de cours
faisant appel à une notion qui n’est pas commune aux programmes de PC et PSI
sont signalés de façon explicite. Par ailleurs, le programme prévoit la reprise et l’approfondissement en deuxième année de certains points abordés en première année :
suites numériques, fonctions réelles d’une variable réelle, intégration sur un segment.
Nous avons mis à profit cette possibilité pour que le présent ouvrage, tout en étant
sans ambiguïté destiné aux élèves de deuxième année, présente trois chapitres utilisables en première lecture dès le deuxième semestre de première année et pour les
« révisions estivales » entre la première et la deuxième année.
Les premiers chapitres traitent des suites numériques et des fonctions réelles d’une
variable réelle. Ces notions déjà détaillées dans l’ouvrage de première année sont
complétées ici par des exercices d’oral de 2007 et par des sujets nécessitant une
maturité qu’on ne peut attendre au premier semestre de la première année. L’intégration sur un segment présente un large choix d’exemples de calculs d’intégrales
ainsi que la mise en œuvre des propriétés de l’intégrale (essentiellement les inégalités) et l’étude de fonctions définies par une intégrale. Ce chapitre permet de réviser
et d’approfondir le programme de première année tout en donnant une vue réaliste
des exercices donnés à l’oral. Dans les chapitres sur les séries numériques, séries
de fonctions, séries entières, séries de Fourier, nous insistons sur les méthodes et
non sur les solutions astucieuses. . . souvent peu reproductibles. De même dans les
chapitres concernant l’intégration sur un domaine non compact, nous avons privilégié la méthode et la comparaison des outils. Par la ressemblance de leurs conclusions (mais non de leurs conditions d’application) certains théorèmes sont source de
confusion : convergence uniforme, convergence normale, convergence dominée et
corollaire, convergence des séries entières. Exemples et contre-exemples posent des
points de repères pour éviter les confusions. Ensuite, dans la présentation des espaces
vectoriels normés, nous avons tenu compte de l’appréhension, voire du malaise, que
l’expérience nous a fait constater chez les élèves. Nous avons abordé ces notions
en les mettant en œuvre dans un contexte familier et bien maîtrisé par les élèves
(espaces de matrices et espaces de fonctions numériques continues sur un segment).
Les équations différentielles linéaires constituent un chapitre très riche qui fait appel