3.3 Exercices d’approfondissement 61
Exercice 3.20
Centrale PC 2006 et 2007
Soit a > 0.
1) Montrer que pour tout x réel, il existe un réel y et un seul tel que
y
x
e
t
2
dt = a
(on pourra étudier la fonction F : x → F(x) =
x
0
e
t
2
dt ).
On pose désormais y = f (x) .
2) Montrer que x = − f (−y). Que peut-on en déduire sur la courbe représentative de f ?
3) Calculer lim
x→+∞
( f (x)−x) . Que peut-on en déduire sur la courbe représentative
de f ?
4) Tracer la courbe représentative de f avec Maple dans le cas a = 2.
1) La fonction F est continue, impaire, strictement croissante sur R et tend vers +∞
lorsque x tend vers +∞ . Pour x fixé, l’application y → F(y) − F(x) est continue, strictement croissante sur [ x, +∞ [ et varie de 0 à +∞ . C’est une bijection de
[ x, +∞ [ sur [ 0, +∞ [ . Il existe donc un nombre unique tel que F(y) − F(x) = a .
On remarquera dans la suite qu’un point M de coordonnées (x, y) appartient à la
courbe représentative de f si et seulement si
y
x
e
t
2
dt = a .
2) Il résulte de la parité de la fonction t → exp(t
2 ) que
y
x
e
t
2
dt =
−x
−y
e
t
2
dt .
Donc si y = f (x) alors −x = f (−y) .
Soit un point M de la courbe représentative de f de coordonnées (x, y). Alors le
point de coordonnées (−y, −x) appartient aussi à cette courbe. Celle-ci est donc
symétrique par rapport à la deuxième bissectrice.
3) Si x 0, on a
a =
f (x)
x
e
t
2
dt
f (x)
x
e
x
2
dt = ( f (x) − x)e
x
2
,
donc 0 f (x) − x ae
−x
2
, et il en résulte que f (x) − x tend vers zéro, lorsque
x tend vers +∞ . La courbe représentative de f admet donc comme asymptote la
première bissectrice, lorsque x tend vers +∞ et également, par symétrie, quand x
tend vers −∞ . La courbe se trouve au-dessus de son asymptote.
4) On a 2 =
f (x)
x
e
t
2
dt = F( f (x)) − F(x) , et comme F est bijective, on en tire
f (x) = F
−1 (F(x) + 2) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Exercice 3.20
Centrale PC 2006 et 2007
Soit a > 0.
1) Montrer que pour tout x réel, il existe un réel y et un seul tel que
y
x
e
t
2
dt = a
(on pourra étudier la fonction F : x → F(x) =
x
0
e
t
2
dt ).
On pose désormais y = f (x) .
2) Montrer que x = − f (−y). Que peut-on en déduire sur la courbe représentative de f ?
3) Calculer lim
x→+∞
( f (x)−x) . Que peut-on en déduire sur la courbe représentative
de f ?
4) Tracer la courbe représentative de f avec Maple dans le cas a = 2.
1) La fonction F est continue, impaire, strictement croissante sur R et tend vers +∞
lorsque x tend vers +∞ . Pour x fixé, l’application y → F(y) − F(x) est continue, strictement croissante sur [ x, +∞ [ et varie de 0 à +∞ . C’est une bijection de
[ x, +∞ [ sur [ 0, +∞ [ . Il existe donc un nombre unique tel que F(y) − F(x) = a .
On remarquera dans la suite qu’un point M de coordonnées (x, y) appartient à la
courbe représentative de f si et seulement si
y
x
e
t
2
dt = a .
2) Il résulte de la parité de la fonction t → exp(t
2 ) que
y
x
e
t
2
dt =
−x
−y
e
t
2
dt .
Donc si y = f (x) alors −x = f (−y) .
Soit un point M de la courbe représentative de f de coordonnées (x, y). Alors le
point de coordonnées (−y, −x) appartient aussi à cette courbe. Celle-ci est donc
symétrique par rapport à la deuxième bissectrice.
3) Si x 0, on a
a =
f (x)
x
e
t
2
dt
f (x)
x
e
x
2
dt = ( f (x) − x)e
x
2
,
donc 0 f (x) − x ae
−x
2
, et il en résulte que f (x) − x tend vers zéro, lorsque
x tend vers +∞ . La courbe représentative de f admet donc comme asymptote la
première bissectrice, lorsque x tend vers +∞ et également, par symétrie, quand x
tend vers −∞ . La courbe se trouve au-dessus de son asymptote.
4) On a 2 =
f (x)
x
e
t
2
dt = F( f (x)) − F(x) , et comme F est bijective, on en tire
f (x) = F
−1 (F(x) + 2) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit