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Chap. 3. Intégration sur un segment
Il en résulte g(x) =
E(x/T )
x
T
0
f (t) dt +
x−nT
0
f (t) dt
x
.
Par ailleurs,
1
x
x−nT
0
f (t) dt
1
x
x−nT
0
| f (t)| dt
1
x
T
0
| f (t)| dt .
On déduit alors du théorème d’encadrement que lim
x→+∞
x−nT
0
f (t) dt
x
= 0 . D’autre
part, sachant que E(y) ∼
y→+∞
y, on a alors
E(x/T )
x
T
0
f (t) dt ∼
x→+∞
1
T
T
0
f (t) dt .
Conclusion : lim
x→+∞
1
x
x
0
f (t) dt =
1
T
T
0
f (t) dt.
Deuxième méthode :
En prenant l’exemple de la fonction sinus sur [ 0, 2p ] , on constate que la limite de
g est nulle dans ce cas. Ce résultat est essentiellement dû au fait que les primitives de
la fonction sinus sont périodiques et continues donc bornées. Or on sait que les primitives d’une fonction périodique sont périodiques lorsque l’intégrale de la fonction
sur une période est nulle. On va donc dans un premier temps examiner le cas de ces
fonctions.
• Soit f une fonction continue périodique, de période T telle que
T
0
f (t)dt = 0.
Soit F la primitive de f qui s’annule en 0. Alors, pour tout x > 0, on a g(x) =
F(x)
x
.
Comme F est continue et périodique, elle est bornée sur R. En notant M un majorant
de |F|, on a, pour x > 0,
|F(x)|
x
M
x
, et par conséquent lim
x→+∞
F(x)
x
= 0.
• Soit f une fonction continue périodique, de période T . On se ramène au cas précédent en considérant la fonction h : x → f (x) −
1
T
T
0
f (t)dt. La fonction h est
périodique continue et son intégrale sur [ 0, T ] est nulle. D’aprés le résultat précédent on a donc lim
x→+∞
1
x
x
0
h(t)dt = 0 .
Or pour tout x > 0, on a
x
0
h(t)dt =
x
0
f (t)dt −
x
T
T
0
f (t)dt . On en déduit
que lim
x→+∞
g(x) =
1
T
T
0
f (t)dt .
2) Il résulte de 1) que, lorsque x tend vers +∞, on a
x
0
f (t) dt ∼
x
T
T
0
f (t) dt .
La fonction x → | sin x| est de période p, donc
x
0
| sin t| dt ∼
x
p
p
0
| sin t| dt .
En outre,
p
0
| sin t| dt =
p
0
sin t dt = 2 . D’où
x
0
| sin t| dt ∼
x→+∞
2x/p .