13.3 Exercices d’approfondissement 319
3. Si < 1, alors ∀x 0, y(x) < 1, donc y(x) =
x
0
e
−ty(t) dt >
x
0
e
−t dt = 1−e
−x .
En passant à la limite pour x tendant vers +∞, on obtient 1, ce qui est
contraire à l’hypothèse. On conclut que 1.
Exercice 13.9
Mines-Ponts PSI 2006
Déterminer la solution maximale du problème de Cauchy
y
= 2y
3 , y(0) = y
(0) = 1
• Il s’agit d’une équation autonome du second ordre. y est solution de ce problème
de Cauchy si et seulement si (y, y
) est solution du système autonome
y
= z
z
= 2y
3
avec les conditions initiales y(0) = 1, z(0) = 1. Le théorème de Cauchy garantit
l’existence et l’unicité de la solution cherchée.
• Pour la trouver, on multiplie la relation y
= 2y
3 par y
, on obtient y
y
= 2y
y
3 ,
puis on l’intègre entre 0 et x : y
(x)
2
− 1 = y(x)
4
− 1, d’où y
(x)
2 = y(x)
4 . S’il
existe x 1 tel que y
(x 1 ) = 0, alors y(x 1 ) = 0, or la fonction nulle est solution du
problème de Cauchy en (x 1 , 0, 0), donc par unicité, y est nulle, ce qui est absurde.
On en déduit que y
ne s’annule pas et garde un signe constant, en l’occurrence
strictement positif, d’où ∀x ∈ I , y
(x) = y(x)
2 . On obtient une équation autonome
du premier ordre que l’on résout par les techniques vues précédemment. Comme
y(0) = 0, y ne s’annule pas, donc ∀x ∈ I ,
y(x)
y(0)
du
u 2 = x, d’où 1 −
1
y(x)
= x, d’où
y(x) =
1
1 − x
. L’intervalle I est le plus grand intervalle contenant 0 sur lequel 1 − x
ne s’annule pas, par conséquent I = ] −∞, 1 [ .
N.B. : La technique consistant à multipliant par y
et à intégrer de x 0 à x permet
d’obtenir une intégrale première (c’est-à-dire une équation du premier ordre) pour
toute équation différentielle de la forme y
= f (y) (équation de Newton).
13.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 13.10
Mines-Ponts PC K
Soit (E) l’équation différentielle x y
− 2|y| = x.
1. Résoudre sur ] 0, +∞ [ les équations différentielles (E 1 ) x y
− 2y = x et
(E 2 ) x y
+ 2y = x.
2. Soit f une solution de (E) sur ] 0, +∞ [ . Démontrer que f change de signe.
Trouver toutes les solutions de (E) sur ] 0, +∞ [ .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
3. Si < 1, alors ∀x 0, y(x) < 1, donc y(x) =
x
0
e
−ty(t) dt >
x
0
e
−t dt = 1−e
−x .
En passant à la limite pour x tendant vers +∞, on obtient 1, ce qui est
contraire à l’hypothèse. On conclut que 1.
Exercice 13.9
Mines-Ponts PSI 2006
Déterminer la solution maximale du problème de Cauchy
y
= 2y
3 , y(0) = y
(0) = 1
• Il s’agit d’une équation autonome du second ordre. y est solution de ce problème
de Cauchy si et seulement si (y, y
) est solution du système autonome
y
= z
z
= 2y
3
avec les conditions initiales y(0) = 1, z(0) = 1. Le théorème de Cauchy garantit
l’existence et l’unicité de la solution cherchée.
• Pour la trouver, on multiplie la relation y
= 2y
3 par y
, on obtient y
y
= 2y
y
3 ,
puis on l’intègre entre 0 et x : y
(x)
2
− 1 = y(x)
4
− 1, d’où y
(x)
2 = y(x)
4 . S’il
existe x 1 tel que y
(x 1 ) = 0, alors y(x 1 ) = 0, or la fonction nulle est solution du
problème de Cauchy en (x 1 , 0, 0), donc par unicité, y est nulle, ce qui est absurde.
On en déduit que y
ne s’annule pas et garde un signe constant, en l’occurrence
strictement positif, d’où ∀x ∈ I , y
(x) = y(x)
2 . On obtient une équation autonome
du premier ordre que l’on résout par les techniques vues précédemment. Comme
y(0) = 0, y ne s’annule pas, donc ∀x ∈ I ,
y(x)
y(0)
du
u 2 = x, d’où 1 −
1
y(x)
= x, d’où
y(x) =
1
1 − x
. L’intervalle I est le plus grand intervalle contenant 0 sur lequel 1 − x
ne s’annule pas, par conséquent I = ] −∞, 1 [ .
N.B. : La technique consistant à multipliant par y
et à intégrer de x 0 à x permet
d’obtenir une intégrale première (c’est-à-dire une équation du premier ordre) pour
toute équation différentielle de la forme y
= f (y) (équation de Newton).
13.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 13.10
Mines-Ponts PC K
Soit (E) l’équation différentielle x y
− 2|y| = x.
1. Résoudre sur ] 0, +∞ [ les équations différentielles (E 1 ) x y
− 2y = x et
(E 2 ) x y
+ 2y = x.
2. Soit f une solution de (E) sur ] 0, +∞ [ . Démontrer que f change de signe.
Trouver toutes les solutions de (E) sur ] 0, +∞ [ .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit