318 Chap. 13. Équations différentielles non linéaires
définie sur ] 0, +∞ [ \{x 1 }, avec x 1 = x 0 exp
−
2
x 0 y 0 − 1
. L’intervalle maximal
de définition de y est donc le plus grand intervalle ouvert contenant x 0 inclus dans
] 0, +∞ [ \{x 1 }.
− Si y 0 < 1/x 0 , alors x 1 > x 0 , donc I = ] 0, x 1 [ .
− Si y 0 > 1/x 0 , alors x 1 < x 0 , donc I = ] x 1 , +∞ [ .
–3
–2
–1
0
1
2
3
1
2
3
4
5
x
cas y 0 < 1/x 0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
x
cas y 0 > 1/x 0
Exercice 13.8
Centrale PSI 2005
On note f la solution maximale de y
= e
−xy telle que f (0) = 0.
1. Montrer que f est impaire.
2. Montrer que f est définie sur R et que f possède une limite finie en +∞.
3. Montrer que 1.
1. D’après le théorème de Cauchy, f est définie sur un intervalle ouvert ] a, b [ ,
avec a < 0 < b. La fonction g : x → − f (−x) vérifie g(0) = 0 et
g
(x) = f
(−x) = e
x f (−x) = e
−xg(x) , donc est solution du même problème
de Cauchy sur ] −b, −a [ . Par unicité, on en déduit que ] −b, −a [ ⊂ ] a, b [ ,
d’où a = −b et g = f , donc f est impaire.
2. f est croissante donc possède une limite, finie ou +∞, en b. Supposons la limite
infinie. Dans ce cas, il existe c ∈ ] 0, b [ tel que ∀x c, f (x) 1, d’où
0 f
(x) e
−x , d’où f (x) f (c) +
x
c
e
−t dt f (c) + e
−c , donc f est
bornée au voisinage de b : contradiction, donc f a une limite finie en b.
Si b est fini, alors f
(x) → e
−b quand x → b, donc f est prolongeable en une
solution sur ] a, b ] , ce qui contredit la maximalité de ] a, b [ . On en déduit que
b = +∞, et comme f est impaire, en déduit que f est définie sur R.