4.3 Exercices d’approfondissement 93
2) En regroupant deux par deux les termes de S 2n , on obtient
S 2n =
n
k=1
(u 2k − u 2k−1 ) =
n
k=1
ln
2k + 1
2k
− ln
2k
2k − 1
= ln
n
k=1
(2k − 1)(2k + 1)
(2k) 2
En utilisant la relation
n
k=1
(2k − 1) =
(2n)!
2 n n!
, on a
n
k=1
(2k + 1) =
(2n + 1)(2n)!
2 n n!
, et
donc S 2n = ln
(2n + 1)[(2n)!]
2
2 4n [n!] 4
.
Mais, par la formule de Stirling, on a
(2n + 1)[(2n)!]
2
2 4n [n!] 4
∼
n→+∞
2n(2n/e)
4n 4np
2 4n (n/e) 4n (2np) 2 =
2
p
.
3) On en déduit que S = lim
n→+∞
S 2n = ln
2
p
.