Montrons alors que
m
i=1
Im p i = E. Soit i dans [[1, n]]. Par hypothèse p i = 0, et
on a donc dim Im p i 1. Comme dim
m
i=1
Im p i =
m
i=1
dim Im p i , on en déduit
que dim
m
i=1
Im p i m. Or on a supposé m = n, donc
m
i=1
Im p i est un sousespace vectoriel de E, de dimension supérieure ou égale à dimE. Il en résulte que
m
i=1
Im p i = E.
2) Soit (l 1 , . . . , l m ) dans R
m tel que
m
i=1
l i p i = 0. Soit j dans [[1, n]]. On a alors
p j ◦
m
i=1
l i p i
=
m
i=1
l i p j ◦ p i = 0. Comme par hypothèse i = j entraîne
p j ◦ p i = 0, on en déduit l j p
2
j = l j p j = 0. Comme p j est un projecteur non nul,
il en résulte que l j = 0. On a ainsi montré que la famille ( p 1 , p 2 , . . . , p m ) est libre.
3) Soit f dans L(R
n ). Montrons que f appartient au commutant de p si et seulement
si le noyau et l’image de p sont stables par f . On sait déjà que cette denière condition
est nécessaire (voir exercice 3.26 page 73), montrons qu’elle est suffisante. Soit x
dans E. Comme p est un projecteur on a E = Ker p ⊕ Im p, il existe donc (x 1 , x 2 )
dans Ker p ×Im p tel que x = x 1 + x 2 . Comme on a p(x) = x 1 , on a f ◦ p(x) = f (x 1 )
et par ailleurs, p ◦ f (x) = p( f (x 1 )+ f (x 2 )) = f (x 1 ), car par hypothèse Im p et Ker p
sont stables par f .
On sait que f appartient au commutant de p si et seulement si le noyau et l’image
de p sont stables par f . Soit k le rang de p, soient (e 1 , . . . , e k ) une base de Im p et
(e k+1 , . . . , e n ) une base de Ker p, comme E = Ker p ⊕ Im p, la famille (e 1 . . . , e n )
est une base de E. Les sous-espaces vectoriels Im p et Ker p sont stables par f si et
seulement si dans la base (e 1 . . . , e n ), f admet une matrice de la forme :
Im p Ker p
A
0
Im p
0
B
Ker p
On en déduit que la dimension du commutant de p est k
2 + (n − k)
2 .
4) On va essayer de construire une famille libre de projecteurs à partir des matrices
E i j (voir chapitre « Matrices » ex. 4.22 p. 114). Pour i dans [[1, n]], la matrice E ii est
la matrice d’un projecteur de R
n . On peut constater que pour i et j dans [[1, n]] avec
i = j les matrices E ii + E i j sont également des matrices de projecteurs (il suffit de
calculer leur carré pour s’en convaincre). On peut regrouper toutes ses matrices dans
la description suivante : Soient i et j dans [[1, n]]. On définit P i j la matrice égale à
E ii + (1 − d i j )E i j (où d i j est le symbole de Kronecker). La famille des (P i j ) (i, j)∈[[1,n]] 2
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
m
i=1
Im p i = E. Soit i dans [[1, n]]. Par hypothèse p i = 0, et
on a donc dim Im p i 1. Comme dim
m
i=1
Im p i =
m
i=1
dim Im p i , on en déduit
que dim
m
i=1
Im p i m. Or on a supposé m = n, donc
m
i=1
Im p i est un sousespace vectoriel de E, de dimension supérieure ou égale à dimE. Il en résulte que
m
i=1
Im p i = E.
2) Soit (l 1 , . . . , l m ) dans R
m tel que
m
i=1
l i p i = 0. Soit j dans [[1, n]]. On a alors
p j ◦
m
i=1
l i p i
=
m
i=1
l i p j ◦ p i = 0. Comme par hypothèse i = j entraîne
p j ◦ p i = 0, on en déduit l j p
2
j = l j p j = 0. Comme p j est un projecteur non nul,
il en résulte que l j = 0. On a ainsi montré que la famille ( p 1 , p 2 , . . . , p m ) est libre.
3) Soit f dans L(R
n ). Montrons que f appartient au commutant de p si et seulement
si le noyau et l’image de p sont stables par f . On sait déjà que cette denière condition
est nécessaire (voir exercice 3.26 page 73), montrons qu’elle est suffisante. Soit x
dans E. Comme p est un projecteur on a E = Ker p ⊕ Im p, il existe donc (x 1 , x 2 )
dans Ker p ×Im p tel que x = x 1 + x 2 . Comme on a p(x) = x 1 , on a f ◦ p(x) = f (x 1 )
et par ailleurs, p ◦ f (x) = p( f (x 1 )+ f (x 2 )) = f (x 1 ), car par hypothèse Im p et Ker p
sont stables par f .
On sait que f appartient au commutant de p si et seulement si le noyau et l’image
de p sont stables par f . Soit k le rang de p, soient (e 1 , . . . , e k ) une base de Im p et
(e k+1 , . . . , e n ) une base de Ker p, comme E = Ker p ⊕ Im p, la famille (e 1 . . . , e n )
est une base de E. Les sous-espaces vectoriels Im p et Ker p sont stables par f si et
seulement si dans la base (e 1 . . . , e n ), f admet une matrice de la forme :
Im p Ker p
A
0
Im p
0
B
Ker p
On en déduit que la dimension du commutant de p est k
2 + (n − k)
2 .
4) On va essayer de construire une famille libre de projecteurs à partir des matrices
E i j (voir chapitre « Matrices » ex. 4.22 p. 114). Pour i dans [[1, n]], la matrice E ii est
la matrice d’un projecteur de R
n . On peut constater que pour i et j dans [[1, n]] avec
i = j les matrices E ii + E i j sont également des matrices de projecteurs (il suffit de
calculer leur carré pour s’en convaincre). On peut regrouper toutes ses matrices dans
la description suivante : Soient i et j dans [[1, n]]. On définit P i j la matrice égale à
E ii + (1 − d i j )E i j (où d i j est le symbole de Kronecker). La famille des (P i j ) (i, j)∈[[1,n]] 2
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit