Chap. 3. Espaces vectoriels et Applications linéaires
Mais puisque a k+1 n’est pas dans F k cela implique l = m = 0. Il en résulte
que F(a k+1 ) ∩ F k = {0}. La somme F(a k+1 ) + F k est donc directe, d’où
l’on déduit que la somme F(a 1 ) + · · · + F(a k ) + F(a k+1 ) est directe. Alors
dim(F(a 1 ) + · · · + F(a k ) + F(a k+1 )) = 2k + 2.
En partant de F(a 1 ) où a 1 = 0, on construit ainsi une suite de sous-espaces
F(a 1 ), . . . , F(a p ) tels que dim(F(a 1 ) + · · · + F(a k ) + F(a p )) = 2 p. Alors
F(a 1 ) ⊕ · · · ⊕ F(a k ) ⊕ F(a p ) = E, ce qui donne le résultat.
4) Notons J =
0 −1
1
0
. Dans la base (a 1 , f (a 1 ), a 2 , f (a 2 ), . . . , a p , f (a p )), l’application f a pour matrice
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
J 0 · · · 0
0 J
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
0 · · · 0 J
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Exercice 3.36
Centrale MP 2006
Soit n dans N
∗ et p 1 , p 2 , . . . , p m des projecteurs non nuls de E = R
n vérifiant
p i ◦ p j = 0 pour tout i = j.
1) On suppose m = n. Montrer que E = Im p 1 ⊕ · · · ⊕ Im p n .
2) Montrer que la famille ( p 1 , p 2 , . . . , p m ) est libre.
3) Soit p un projecteur de R
n . Déterminer la dimension du commutant de p
(c’est-à-dire l’ensemble des endomorphismes de R
n commutant avec p).
4) Trouver une partie libre de cardinal maximal, constituée de projecteurs de R
n .
1) On va commencer par montrer que la somme
n
i=1
Im p i est directe.
Soit (y 1 , . . . , y n ) dans Im p 1 × · · · × Im p n . On suppose que
n
j=1
y j = 0.
La condition p i ◦ p j = 0 pour tout i = j montre que p i (y j ) = 0 pour tout i = j. Soit
alors i dans [[1, n]]. De p i
⎛
⎝
n
j=1
y j
⎞
⎠ = 0 on déduit
n
j=1
p i (y j ) = p i (y i ) = y i = 0. On
en conclut que la somme
m
i=1
Im p i est directe.