nous inspirer de la démonstration du théorème de trigonalisation pour démontrer
que u et v sont simultanément trigonalisables.
Nous procédons par récurrence sur la dimension n de E. La propriété est évidemment vérifiée à l’ordre 1. Pour n > 1, supposons la vérifiée à l’ordre n − 1,
et vérifions la lorsque dim E = n. Soit e 1 un vecteur propre commun à u et v,
et soit F un supplémentaire de Vect(e 1 ). Soit (e 2 , . . . , e n ) une base de F. Alors
B = (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est une base de E et dans cette base la matrice de u est de
la forme U =
a ∗
0 A
et le matrice de v est de la forme V =
b ∗
0 B
.
Comme U et V commutent, les matrices A et B commutent dans M n−1 (C).
Soit p F la projection sur F parallèlement à Vect(e 1 ), et soit u |F la restriction de
u à F. Alors A est la matrice de l’endomorphisme f = p F ◦ u |F de F dans la
base (e 2 , . . . , e n ) et de même B est la matrice de g = p F ◦ v |F . Les endomorphismes f et g commutent, et l’hypothèse de récurrence assure l’existence d’un
base (e
2 , . . . , e
n ) de F dans laquelle les matrices A
de f et B
de g sont triangulaire supérieures. Dans la base (e 1 , e
2 , . . . , e
n ) les matrices de u et de v sont
alors respectivement U
=
a ∗
0 A
et V
b ∗
0 B
. Elles sont triangulaires supérieures.
2) La démonstration de la relation ∀k ∈ N [u
k , v] = klu
k est évidente par récurrence sur l’entier k (la seule difficulté est de conjecturer cette relation) !
Il en résulte que si u
k est non nul, alors c’est un vecteur propre de l’endomorphisme F : f → [ f , v] de L(E), associé à la valeur propre kl. Comme L(E) est
un espace vectoriel de dimension finie, F a un nombre fini de valeurs propres, et
il existe donc k ∈ N
∗ tel que u
k = 0. Ainsi l’endomorphisme u est nilpotent. Le
noyau Ker u de u est stable par v car u et v commutent. En reprenant le schéma
de la démonstration de la question 1) avec a = 0, on vérifie qu’avec les notations
précédentes, A est nilpotente et A et B vérifie [A, B] = lA. On peut donc à nouveau effectuer la récurrence et construire une base de E dans laquelle les matrices
de u et de v sont triangulaires supérieures (avec une diagonale de 0 pour la matrice
de u).
3) On suppose b = 0. Soit v
= au + bv. On a alors [u, v
] = b[u, v] = bv
donc
[
1
b
u, v
] = v
. D’après 2),
1
b
u et v
sont cotrigonalisables donc u et v
aussi et
donc, également, u et
1
b
v
− au
= v.
Exercice 7.59
Centrale MP 2007 Ã
Soient n ∈ N
∗ et (u, v, h) ∈ L(C
n )
3 tel que h ◦u −u ◦h = 2u, h ◦v −v ◦h = −2v
et u ◦ v − v ◦ u = h.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
que u et v sont simultanément trigonalisables.
Nous procédons par récurrence sur la dimension n de E. La propriété est évidemment vérifiée à l’ordre 1. Pour n > 1, supposons la vérifiée à l’ordre n − 1,
et vérifions la lorsque dim E = n. Soit e 1 un vecteur propre commun à u et v,
et soit F un supplémentaire de Vect(e 1 ). Soit (e 2 , . . . , e n ) une base de F. Alors
B = (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est une base de E et dans cette base la matrice de u est de
la forme U =
a ∗
0 A
et le matrice de v est de la forme V =
b ∗
0 B
.
Comme U et V commutent, les matrices A et B commutent dans M n−1 (C).
Soit p F la projection sur F parallèlement à Vect(e 1 ), et soit u |F la restriction de
u à F. Alors A est la matrice de l’endomorphisme f = p F ◦ u |F de F dans la
base (e 2 , . . . , e n ) et de même B est la matrice de g = p F ◦ v |F . Les endomorphismes f et g commutent, et l’hypothèse de récurrence assure l’existence d’un
base (e
2 , . . . , e
n ) de F dans laquelle les matrices A
de f et B
de g sont triangulaire supérieures. Dans la base (e 1 , e
2 , . . . , e
n ) les matrices de u et de v sont
alors respectivement U
=
a ∗
0 A
et V
b ∗
0 B
. Elles sont triangulaires supérieures.
2) La démonstration de la relation ∀k ∈ N [u
k , v] = klu
k est évidente par récurrence sur l’entier k (la seule difficulté est de conjecturer cette relation) !
Il en résulte que si u
k est non nul, alors c’est un vecteur propre de l’endomorphisme F : f → [ f , v] de L(E), associé à la valeur propre kl. Comme L(E) est
un espace vectoriel de dimension finie, F a un nombre fini de valeurs propres, et
il existe donc k ∈ N
∗ tel que u
k = 0. Ainsi l’endomorphisme u est nilpotent. Le
noyau Ker u de u est stable par v car u et v commutent. En reprenant le schéma
de la démonstration de la question 1) avec a = 0, on vérifie qu’avec les notations
précédentes, A est nilpotente et A et B vérifie [A, B] = lA. On peut donc à nouveau effectuer la récurrence et construire une base de E dans laquelle les matrices
de u et de v sont triangulaires supérieures (avec une diagonale de 0 pour la matrice
de u).
3) On suppose b = 0. Soit v
= au + bv. On a alors [u, v
] = b[u, v] = bv
donc
[
1
b
u, v
] = v
. D’après 2),
1
b
u et v
sont cotrigonalisables donc u et v
aussi et
donc, également, u et
1
b
v
− au
= v.
Exercice 7.59
Centrale MP 2007 Ã
Soient n ∈ N
∗ et (u, v, h) ∈ L(C
n )
3 tel que h ◦u −u ◦h = 2u, h ◦v −v ◦h = −2v
et u ◦ v − v ◦ u = h.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit