Chap. 7. Réduction des endomorphismes
de v associé à la valeur propre 0. Or, par hypothèse u ◦ v = 0. Ainsi,
u(y) = u ◦ v
p−1 (x) = (u ◦ v) ◦ v
p−2 (x) = 0 , et y est aussi un vecteur
propre de u associé à la valeur propre 0.
2) Démontrons par récurrence qu’il existe une base de E dans laquelle les matrices
de u et v sont triangulaires supérieures. La propriété est évidente pour n = 1.
Supposons la vraie au rang n et plaçons nous en dimension n + 1.
Soit e un vecteur propre commun de u et v appartenant à Ker u. Soit H un supplémentaire de la droite Ce dans E. Notons p la projection sur H parallèlement à
Ce, u 1 la restriction de p ◦ u à H et v 1 la restriction de p ◦ v à H , et B une base
de E commençant par e et suivie d’une base B 1 de H . Dans cette base, la matrice
de u s’écrit
0 L 1
0 U 1
et celle de v s’écrit
l L 2
0 V 1
. On sait que U 1 est la matrice
de u 1 dans la base B 1 et V 1 est celle de v 1 . En écrivant que u ◦ v = 0, on obtient
par un produit par blocs que U 1 V 1 = 0, donc u 1 ◦ v 1 = 0. On peut alors appliquer
l’hypothèse de récurrence, il existe une base B
1 de H dans laquelle les matrices
de u 1 et de v 1 sont triangulaires supérieures. Plaçons-nous à présent dans la base
B
= {e} ∪ B
1 . On a u(e) = 0 et v(e) = le. Pour k 2, u(e
k ) = u
(e
k ) + a k e (de
même pour v(e
k )), donc les matrices de u et v dans la base B
sont triangulaires
supérieures, ce qui achève la récurrence.
Exercice 7.58
Centrale MP 2006 et 2007, Polytechnique MP 2007 Ã
Soit E un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle. Soient u et v
des endomorphismes de E; on pose [u, v] = u ◦ v − v ◦ u.
1) On suppose [u, v] = 0. Montrer que u et v sont cotrigonalisables.
Indication de la rédaction : on pourra commencer par montrer que u et v
possèdent un vecteur propre en commun.
2) On suppose [u, v] = lu, où l ∈ C
∗ . Montrer que u est nilpotent et que u et v
sont cotrigonalisables.
Indication de la rédaction : on montrera par récurrence que ∀k ∈ N
[u
k , v] = klu
k .
3) On suppose l’existence de complexes a et b tels que [u, v] = au + bv. Montrer que u et v sont cotrigonalisables.
1) Le polynôme caractéristique de u possède au moins une racine dans C, donc l’endomorphisme u au moins une valeur propre. Soit a une valeur propre de u, et soit
E a (u) le sous-espace propre associé. Comme u et v commutent, E a (u) est stable
par v. L’endomorphisme induit par v sur E a (u) possède à son tour au moins une
valeur propre, et donc E a (u) contient au moins un vecteur propre de v. Nous avons
ainsi démontré que u et v ont au moins un vecteur propre commun. Nous allons
de v associé à la valeur propre 0. Or, par hypothèse u ◦ v = 0. Ainsi,
u(y) = u ◦ v
p−1 (x) = (u ◦ v) ◦ v
p−2 (x) = 0 , et y est aussi un vecteur
propre de u associé à la valeur propre 0.
2) Démontrons par récurrence qu’il existe une base de E dans laquelle les matrices
de u et v sont triangulaires supérieures. La propriété est évidente pour n = 1.
Supposons la vraie au rang n et plaçons nous en dimension n + 1.
Soit e un vecteur propre commun de u et v appartenant à Ker u. Soit H un supplémentaire de la droite Ce dans E. Notons p la projection sur H parallèlement à
Ce, u 1 la restriction de p ◦ u à H et v 1 la restriction de p ◦ v à H , et B une base
de E commençant par e et suivie d’une base B 1 de H . Dans cette base, la matrice
de u s’écrit
0 L 1
0 U 1
et celle de v s’écrit
l L 2
0 V 1
. On sait que U 1 est la matrice
de u 1 dans la base B 1 et V 1 est celle de v 1 . En écrivant que u ◦ v = 0, on obtient
par un produit par blocs que U 1 V 1 = 0, donc u 1 ◦ v 1 = 0. On peut alors appliquer
l’hypothèse de récurrence, il existe une base B
1 de H dans laquelle les matrices
de u 1 et de v 1 sont triangulaires supérieures. Plaçons-nous à présent dans la base
B
= {e} ∪ B
1 . On a u(e) = 0 et v(e) = le. Pour k 2, u(e
k ) = u
(e
k ) + a k e (de
même pour v(e
k )), donc les matrices de u et v dans la base B
sont triangulaires
supérieures, ce qui achève la récurrence.
Exercice 7.58
Centrale MP 2006 et 2007, Polytechnique MP 2007 Ã
Soit E un espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle. Soient u et v
des endomorphismes de E; on pose [u, v] = u ◦ v − v ◦ u.
1) On suppose [u, v] = 0. Montrer que u et v sont cotrigonalisables.
Indication de la rédaction : on pourra commencer par montrer que u et v
possèdent un vecteur propre en commun.
2) On suppose [u, v] = lu, où l ∈ C
∗ . Montrer que u est nilpotent et que u et v
sont cotrigonalisables.
Indication de la rédaction : on montrera par récurrence que ∀k ∈ N
[u
k , v] = klu
k .
3) On suppose l’existence de complexes a et b tels que [u, v] = au + bv. Montrer que u et v sont cotrigonalisables.
1) Le polynôme caractéristique de u possède au moins une racine dans C, donc l’endomorphisme u au moins une valeur propre. Soit a une valeur propre de u, et soit
E a (u) le sous-espace propre associé. Comme u et v commutent, E a (u) est stable
par v. L’endomorphisme induit par v sur E a (u) possède à son tour au moins une
valeur propre, et donc E a (u) contient au moins un vecteur propre de v. Nous avons
ainsi démontré que u et v ont au moins un vecteur propre commun. Nous allons