Avant-propos
endomorphismes est un point essentiel du programme de deuxième année en raison de son intérêt pour la formation de l’élève (toutes les notions d’algèbre linéaire
sont sollicitées), de son intérêt pour la préparation aux concours (toutes les épreuves
de concours, ou presque, abordent ces questions) et de son intérêt pour l’évolution
future de l’élève-ingénieur qui rencontrera ces notions utilisées dans de nombreux
domaines scientifiques. Les espaces préhilbertiens et euclidiens réalisent une synthèse encore plus profonde entre les outils techniques et la démarche conceptuelle.
Nous avons tenté de rendre compte par les rappels de cours et le choix des exercices
de la richesse de ces concepts en privilégiant l’approche méthodique et en montrant
à l’élève les vertus unificatrices de notions qui dépassent largement la géométrie
et s’appliquent aussi bien à l’analyse qu’à l’algèbre. Dans le chapitre « quadriques
et coniques », la classification et la méthode de réduction sont présentées de façon
détaillée et illustrées par de nombreux exemples. Notre expérience d’examinateurs
d’oral nous montre que les courbes polaires et paramétrées sont souvent négligées par
les élèves. Par des exercices venant de tous les concours, nous souhaitons leurs montrer que cette négligence est risquée. Nous avons rédigé ce chapitre de manière progressive en y intégrant les éléments de programme de première année pour construire
un ensemble complet et autonome. Le chapitre suivant traite des surfaces définies par
un paramétrage ou par une équation cartésienne. C’est sous l’éclairage de ce double
point de vue que sont abordées les notions fondamentales de vecteur normal et de
plan tangent en un point régulier. Un choix judicieux et progressif d’exercices de
concours permet aux étudiants de se familiariser avec les surfaces usuelles. Le dernier chapitre intitulé « compléments de géométrie » regroupe des exercices de tous les
concours abordant les questions de géométrie (affine, euclidienne, isométries affines
et vectorielles, lieux géométriques, calcul d’extrema). Absentes des programmes de
deuxième année, ces notions ne sont pas absentes des concours. Enfin, nous avons
apporté un soin tout particulier aux figures qui illustrent ces derniers chapitres.
Les premiers chapitres, par leur contenu et leur structure, marquent la transition entre
les principes rédactionnels et pédagogiques propres aux ouvrages de première année
et ceux utilisés pour les ouvrages de deuxième année. En première année, nous avions
choisi de présenter et d’illustrer de façon linéaire chaque nouvelle notion l’une après
l’autre. Nous nous adressions alors à des lecteurs sortant des classes terminales et
encore peu autonomes dans leur approche. En deuxième année, nous avons choisi
de présenter globalement l’essentiel des notions d’un chapitre puis de progresser par
étapes vers une compréhension et une maîtrise de plus en plus approfondies. Chaque
chapitre est donc constitué de trois parties :
– une présentation synthétique de l’essentiel du cours suivie d’exercices d’assimilation immédiate, dans lesquels chaque nouvelle notion est testée, sans complication
inutile à ce niveau, dans un contexte qui permet d’identifier clairement une et une
seule difficulté et de la résoudre, en respectant une sorte de « règle des trois unités » : un exercice, une difficulté, une solution ;
endomorphismes est un point essentiel du programme de deuxième année en raison de son intérêt pour la formation de l’élève (toutes les notions d’algèbre linéaire
sont sollicitées), de son intérêt pour la préparation aux concours (toutes les épreuves
de concours, ou presque, abordent ces questions) et de son intérêt pour l’évolution
future de l’élève-ingénieur qui rencontrera ces notions utilisées dans de nombreux
domaines scientifiques. Les espaces préhilbertiens et euclidiens réalisent une synthèse encore plus profonde entre les outils techniques et la démarche conceptuelle.
Nous avons tenté de rendre compte par les rappels de cours et le choix des exercices
de la richesse de ces concepts en privilégiant l’approche méthodique et en montrant
à l’élève les vertus unificatrices de notions qui dépassent largement la géométrie
et s’appliquent aussi bien à l’analyse qu’à l’algèbre. Dans le chapitre « quadriques
et coniques », la classification et la méthode de réduction sont présentées de façon
détaillée et illustrées par de nombreux exemples. Notre expérience d’examinateurs
d’oral nous montre que les courbes polaires et paramétrées sont souvent négligées par
les élèves. Par des exercices venant de tous les concours, nous souhaitons leurs montrer que cette négligence est risquée. Nous avons rédigé ce chapitre de manière progressive en y intégrant les éléments de programme de première année pour construire
un ensemble complet et autonome. Le chapitre suivant traite des surfaces définies par
un paramétrage ou par une équation cartésienne. C’est sous l’éclairage de ce double
point de vue que sont abordées les notions fondamentales de vecteur normal et de
plan tangent en un point régulier. Un choix judicieux et progressif d’exercices de
concours permet aux étudiants de se familiariser avec les surfaces usuelles. Le dernier chapitre intitulé « compléments de géométrie » regroupe des exercices de tous les
concours abordant les questions de géométrie (affine, euclidienne, isométries affines
et vectorielles, lieux géométriques, calcul d’extrema). Absentes des programmes de
deuxième année, ces notions ne sont pas absentes des concours. Enfin, nous avons
apporté un soin tout particulier aux figures qui illustrent ces derniers chapitres.
Les premiers chapitres, par leur contenu et leur structure, marquent la transition entre
les principes rédactionnels et pédagogiques propres aux ouvrages de première année
et ceux utilisés pour les ouvrages de deuxième année. En première année, nous avions
choisi de présenter et d’illustrer de façon linéaire chaque nouvelle notion l’une après
l’autre. Nous nous adressions alors à des lecteurs sortant des classes terminales et
encore peu autonomes dans leur approche. En deuxième année, nous avons choisi
de présenter globalement l’essentiel des notions d’un chapitre puis de progresser par
étapes vers une compréhension et une maîtrise de plus en plus approfondies. Chaque
chapitre est donc constitué de trois parties :
– une présentation synthétique de l’essentiel du cours suivie d’exercices d’assimilation immédiate, dans lesquels chaque nouvelle notion est testée, sans complication
inutile à ce niveau, dans un contexte qui permet d’identifier clairement une et une
seule difficulté et de la résoudre, en respectant une sorte de « règle des trois unités » : un exercice, une difficulté, une solution ;