94
4 Bateman Waves
+ 02 =
i
4
1
Y
+ Y
(A + i C) (dr − dt) ∧ d
x − i y
r − z
,
(4.199)
+ 03 = −
1
2
(A + i C) (dr − dt) ∧ d
x − i y
r − z
.
(4.200)
When these are equated to (4.158) and (4.159) we find the following components of
the electric and magnetic parts of the perturbed Weyl tensor:
E
11
=
−A [x z {r(r − z) − x 2 } + r x y 2 ] + C [−r y {r(r − z) − x 2 } + x 2 y z]
2 r (r − z) 2 (r 2 − z 2 )
,
(4.201)
E
12
=
A [r y {r(r − z) − y 2 } + x 2 y z] + C [−x z {r(r − z) − y 2 } + r x y 2 ]
2 r (r − z) 2 (r 2 − z 2 )
,
(4.202)
E
13
=
A [−x 2 z + r y 2 ] + C [−x y z − r x y]
2 r (r − z)(r 2 − z 2 )
,
(4.203)
E
22
=
−A [r x {r(r − z) − y 2 } − x y 2 z] − C [y z {r(r − z) − y 2 } + r x 2 y]
2 r (r − z) 2 (r 2 − z 2 )
,
(4.204)
E
23
=
−A [x y z + r x y] + C [−y 2 z + r x 2 ]
2 r (r − z)(r 2 − z 2 )
,
(4.205)
E
33
=
A x + C y
2 r (r − z)
,
(4.206)
and
H
11
=
A [r y {r(r − z) − x 2 } − x 2 y z] − C [x z {r(r − z) − x 2 } + r x y 2 ]
2 r (r − z) 2 (r 2 − z 2 )
,
(4.207)
H
12
=
A [x z {r(r − z) − y 2 } − r x y 2 ] + C [r y {r(r − z) − y 2 } + x 2 y z]
2 r (r − z) 2 (r 2 − z 2 )
,
(4.208)
H
13
=
A [x y z + r x y] + C [−x 2 z + r y 2 ]
2 r (r − z)(r 2 − z 2 )
,
(4.209)
H
22
=
A [y z {r(r − z) − y 2 } + r x 2 y] − C [r x {r(r − z) − y 2 } − x y 2 z]
2 r (r − z) 2 (r 2 − z 2 )
,
(4.210)