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Par suite, en additionnant membre à membre ces deux relations, on en déduit :
cos ((n + 1) 8) +cos ((n - 1)8) = 2 cos (n8) cos8
puis:
cos((n + 1)8) = 2 cos(n8) cos8- cos((n - 1)0)
Par hypothèse de récurrence, cos (n 8) est un polynôme de degré n en cos 8. cos (n 8) cos 8
est donc un polynôme de degré n + 1 en cos 8. Comme cos ((n - 1) 8) est un polynôme de
degré n - 1 en cos 8, cos ((n + 1) 8) est bien un polynôme de degré n + 1 en cos 8.
Le coefficient du terme de plus haut degré est :
2 X 211- I = 2" = 211+1- I
La propriété est donc vraie au rang n + 1.
• Comme elle est vraie au rang 1, elle est donc vraie pour tout entier naturel n ;;i: 1.
T,, est le nième polynôme de Tchebychev '. Tl est à noter que ce polynôme ne dépend pas de e.
L'unicité de ce polynôme est admise.
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