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Étude d'une suite
Pour étudier une suite, il est important de pouvoir étudier - et démontrer - ses propriétés,
mais aussi de pouvoir comparer ses termes les uns avec les autres, et en particulier savoir
s' ils augmentent ou diminuent...
1. Récurrence simple
Considérons une suite (u 11 ) 11 eN · Si jamais on souhaite démontrer qu'elle vérifie une propriété, que nous noterons P, démontrer celle-ci par récurrence peut s'avérer extrêmement
intéressant.
En quoi consiste cette méthode ? Tout simplement, on va commencer par regarder si
la propriété Pest vérifiée à un rang initial no E N donné (no peut, bien sûr, être égal à
zéro); si c'est le cas, on suppose ensuite qu'elle est vraie à un rang n ~ no quelconque,
et on cherche à déterminer si elle est encore vraie au rang n + 1 : le fait qu'elle soit vraie
au rang no permettra d'en déduire qu'elle est vérifiée pour tout entier n ~ no.
Exemple
Considérons la suite (u 11 ) 11 EN définie par:
On remarque que :
n
V n E N : U11 = I k2
k=O
UQ = Û , Ut = Ü + 1 = 1
Démontrons alors, par récurrence, que :
~ ? n(n + l)(2n+l)
Vn eN : 6
k- =
6
k=O
• La propriété est bien vraie au rang O.
• Supposons la propriété vraie à un rang n > 0; on a alors :
ri+ 1
n
I k2 = I k2 + k=O
k=O
=
=
=
=
n(n+1)(2n+l)
)2
6
+ (n + l
(n + l) (n(2n + l) + 6(n + 1)))
6
(n+ l)(n + 2)(2n + 3)
6
(n+ l)(n+2) (2(n+ l)+ l)
6
(On factorise par n + 2, car - 2 est racine évidente.)
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