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Limites, continuité et dérivation
1. Limites, continuité
Définition Limite d ' une fonction en un point
Soit f une application d'un domaine ouvert V de R 2 (resp. R 3 ), à valeurs dans Rd, et
Mo un point de R
2 (resp. de R 3 ) .
La fonction f admet pour limite le réel e en Mo si, pour tout réel s > 0, il existe un
réel 17 > 0 tel que, pour tout point M de V :
-----?
llMoMll ~ 17 ~ llf(M) - Cii ~ s
On note alors :
lim f(M) = e
M-tMo
La fonction f est dite continue en Mo si :
lim f(M) = f(Mo)
M-tMo
Exemple
L'application (x, y) E R
2 H x E R qui, à tout vecteur de R
2 , associe sa première coordonnée,
est continue.
Propriété
Toute combinaison linéaire de fonctions continues en un point Mo de IR. 2 (resp. IR. 3 ) est
continue en Mo .
2. Dérivation
Il s'agit simplement, dans ce qui suit, d' étendre aux fonctions de plusieurs variables la
notion de dérivée.
Dans un premier temps, on va donc définir la notion de dérivée partielle, obtenue en
fixant toutes les variables, sauf une, puis en dérivant la fonction par rapport à celle-ci.
~ Dérivées partielles
Dérivée partielle d'une fonction
Soit f une application d'un domaine ouvert V de IR. 2 (resp. IR. 3 ) , à valeurs dans lRc1.
La fonction f admet une dérivée partielle par rapport à la variable x au point
(xo, Yo) E V (resp. (xo, yo, zo)) si l'appl ication x H f(x, yo) (resp. x H f(x, yo, zo))
est dérivable en xo . La valeur de cette dérivée en xo est alors appelée dérivée partielle
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